部编版七年级上册数学知识点总结与学习技巧

鼓狮 • • 初中学习方法

学习之路从无捷径可言。每一门学科都有其独特的学习方法，但万变不离其宗，数学与语文、英语并无本质区别，同样需要记忆、背诵和练习。以下为部编版七年级上册数学核心知识点整理，希望能为同学们的学习之路提供助力。

### 生活中的轴对称

#### 轴对称图形
轴对称图形是指沿一条直线折叠后，直线两侧部分能够完全重合的图形，这条直线即为对称轴。例如，等腰三角形、正方形等都是典型的轴对称图形。

#### 轴对称
轴对称是指两个图形沿一条直线对折后能够完全重合的关系，这条直线同样称为对称轴。可以说，这两个图形关于某条直线对称。轴对称图形与轴对称的区别在于：前者是一个图形，后者是两个图形的关系，但两者都基于图形沿直线折叠可重合的特性。

#### 轴对称图形与轴对称的区别
1. 轴对称图形是一个图形，而轴对称是两个图形的关系。
2. 两者都满足图形沿某直线折叠可重合的条件。
3. 成轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成轴对称。
4. 对称轴必定是直线。

#### 角平分线的性质
1. 角平分线所在的直线是该角的对称轴。
2. 角平分线上的点到该角两边的距离相等。例如，若点O在∠CAD的平分线上，且OE⊥AC，OF⊥AD，则OE=OF。

#### 线段的垂直平分线
1. 垂直于一条线段并平分该线段的直线称为该线段的垂直平分线，也称为中垂线。
2. 垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等。例如，若OC垂直平分AB，则AC=BC。

#### 常见的轴对称图形
1. 等腰三角形（1条或3条对称轴）
2. 等腰梯形（1条对称轴）
3. 长方形（2条对称轴）
4. 菱形（2条对称轴）
5. 正方形（4条对称轴）
6. 圆（无数条对称轴）
7. 线段（1条对称轴）
8. 角（1条对称轴）
9. 正五角星（5条对称轴）

#### 等腰三角形的性质
1. 两个底角相等。
2. 两条腰相等。
3. “三线合一”性质：底边上的高、中线、顶角的平分线重合于对称轴。
4. 底边上的高、中线、顶角的平分线所在直线是它的对称轴。

#### 等腰三角形的判定
1. 等角对等边：若∠B=∠C，则AB=AC。
2. 等边对等角：若AB=AC，则∠B=∠C。

#### 轴对称的性质
1. 对应点：沿对称轴对折后能够重合的点称为对应点。
2. 对应线段和对应角：能够重合的线段和角分别称为对应线段和对应角。
3. 全等性：关于某条直线对称的两个图形是全等图形。
4. 对应线段的连线：对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
5. 对应线段和对应角相等：对应线段和对应角都相等。

#### 镜面对称
1. 物体正对镜面摆放时，镜面会改变其左右方向。
2. 物体垂直于镜面摆放时，镜面会改变其上下方向。
3. 若对称轴与镜面平行，镜中影像与原图完全一致。

学生可通过以下方法解决物体与像之间的相互转化问题：
1. 利用镜子照（注意镜子摆放位置）。
2. 利用轴对称性质。
3. 将数字左右颠倒或绘制简单轴对称图形。
4. 观察像的背面。
5. 根据已有结论在头脑中想象。

### 七年级数学重要知识点：一元一次方程的应用

#### 一元一次方程解应用题的类型
1. 探索规律型问题。
2. 数字问题。
3. 销售问题（利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%）。
4. 工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②各阶段工作量之和=工作总量）。
5. 行程问题（路程=速度×时间）。
6. 等值变换问题。
7. 和、差、倍、分问题。
8. 分配问题。
9. 比赛积分问题。
10. 水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）。

#### 利用方程解决实际问题的基本思路
1. 审题：找出题中的未知量和已知量，确定等量关系。
2. 设：设未知数（可设直接未知数或间接未知数）。
3. 列：根据等量关系列出方程。
4. 解：解方程求得未知数的值。
5. 答：检验结果是否符合题意，并完整作答。

#### 列一元一次方程解应用题的五个步骤
1. 审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出等量关系。
2. 设：设未知数（x），根据实际情况可设直接未知数或间接未知数。
3. 列：根据等量关系列出方程。
4. 解：解方程求得未知数的值。
5. 答：检验结果是否符合题意，并完整作答。

### 七年级数学知识点：第一章 有理数

#### 1.1 正数与负数
1. 正数：大于0的数称为正数（有时在正数前加“+”号）。
2. 负数：在0以外的数前加负号“—”的数称为负数，与正数具有相反意义。
3. 0：既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界，是唯一的中性数。
– 注意：需理解相反意义的量，如南北、东西、上下、左右、升降、高低、增减等。

#### 1.2 有理数
1. 有理数分类：
– 整数：正整数、0、负整数。
– 分数：正分数和负分数。
– 有理数：整数和分数的统称。
2. 数轴：
– 定义：用直线上的点表示数，该直线称为数轴。
– 三要素：原点、正方向、单位长度。
– 原点：直线上任意一点表示数0。
– 数轴上的点与有理数的关系：所有有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数。
3. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。
– 例如：2的相反数是-2；0的相反数是0。
4. 绝对值：
– 定义：数轴上表示数a的点与原点的距离称为数a的绝对值，记作|a|。
– 几何意义：数的绝对值是两点间的距离。
– 规则：
– 正数的绝对值是它本身。
– 负数的绝对值是它的相反数。
– 0的绝对值是0。
– 两个负数中，绝对值大的反而小。

#### 1.3 有理数的加减法
1. 有理数加法法则：
– 同号两数相加，取相同符号，绝对值相加。
– 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值。
– 互为相反数的两个数相加得0。
– 一个数同0相加，仍得该数。
– 加法的交换律和结合律。
2. 有理数减法法则：
– 减去一个数，等于加这个数的相反数。

#### 1.4 有理数的乘除法
1. 有理数乘法法则：
– 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
– 任何数同0相乘，都得0。
– 乘积是1的两个数互为倒数。
– 乘法的交换律、结合律、分配律。
2. 有理数除法法则：
– 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
– 两数相除，同号得正，异号得负，绝对值相除。
– 0除以任何一个不等于0的数，都得0。

#### 1.5 有理数的乘方
1. 乘方定义：求n个相同因数的积的运算，乘方的结果称为幂。
– 在a^n中，a是底数，n是指数。
– 负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数。
– 正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。
2. 有理数的混合运算法则：
– 先乘方，再乘除，最后加减。
– 同级运算从左到右进行。
– 括号内运算优先，按小括号、中括号、大括号依次进行。
3. 科学计数法：将大于10的数表示为a×10^n的形式，其中1≤a<10。
4. 有效数字：从左边第一个非0数字到末位数字的所有数字都是有效数字。
– 四舍五入需精确到某一位，从该位下一位开始四舍五入，而非从数字末尾往前。

### 初一数学方法技巧

#### 学习方法总结
学习数学如同其他事务，需研究方法。推荐的方法是：超前学习、展开联想、多做总结、找出合情合理。

#### 超前学习的益处
1. 挖掘潜力，培养自学能力。
– 超前学习后，能独立解决许多问题，提升自信心和学习兴趣。
2. 消除知识隐患。
– 超前学习能发现现有认知的不足，避免被表面理解误导。
3. 潜意识加工。
– 即使当时未完全理解的内容，搁置后大脑仍会潜意识“加工”，后续学习会更深刻。
4. 提高听课质量。
– 超前学习后，多数新知识可自行理解，课堂注意力集中于少数难点，实现“好钢用在刀刃上”。

#### 联想与总结
联想与总结贯穿学习始终。认识新知识必基于已有基础，寻找基础的过程即是联想，而认识基础则是总结。
– 总结越简洁、清晰、合理，越容易联想，将新知识融入原有知识结构。
– 联想与总结在解题中特别有效。若解题能力强但未意识到此方法，说明已不自觉运用。

#### 预习方法
1. 学习目标：
– 了解知识产生的背景和形成过程。
– 知道知识的地位和作用。
– 总结认识问题的规律或使用的已有规律。
2. 具体做法：
– 概念理解：
– 数学高度抽象，需借助具体事物理解，如字面含义、其他学科知识、图形等。
– 理解概念的境界是“意会”，需下苦功后再做题。
– 公式定理预习：
– 公式定理是“规律”的总结，如完全平方公式、勾股定理等。
– 推导公式或证明定理蕴含丰富数学方法和解题规律，如三角形内角平分线定理的证明。
– 先自行推导或证明，若失败再参考他人做法，并思考其思路。
– 例题及习题处理：
– 参考上述方法，并注重总结解题思路。

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