高一新生在进入高中阶段后，将面临学科知识交叉多、综合性强以及考查范围广的学习特点。因此，寻找一套适合自己的高效学习方法至关重要。下面将为大家整理高一数学函数的核心知识点，帮助同学们更好地掌握这一重要内容。
### 函数的奇偶性
1. **偶函数的定义**：若函数f(x)满足f(x) = f(-x)，则称其为偶函数。例如，f(x) = x²就是一个典型的偶函数。
2. **奇函数的性质**：若f(x)是奇函数且0在其定义域内，则必有f(0) = 0。这一性质可用于求解某些参数问题。
3. **奇偶性判断方法**：可以通过以下等价形式判断函数的奇偶性：
– f(x) + f(-x) = 0（奇函数）
– f(x) – f(-x) = 0（偶函数）
4. **复杂函数的奇偶性**：对于解析式较为复杂的函数，应先化简再判断其奇偶性。
5. **单调性规律**：
– 奇函数在对称区间上的单调性相同。
– 偶函数在对称区间上的单调性相反。
### 复合函数相关问题
1. **定义域求解**：
– 若已知内函数g(x)的定义域为[a, b]，则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b解出。
– 若已知f[g(x)]的定义域为[a, b]，则外函数f(x)的定义域为g(x)在[a, b]上的值域。
2. **单调性判定**：复合函数的单调性遵循“同增异减”原则，即内函数与外函数单调性相同时，复合函数单调递增；单调性相反时，复合函数单调递减。
### 函数图像的对称性
1. **对称性证明**：证明函数图像的对称性，需验证图像上任意点关于对称中心或对称轴的对称点仍在图像上。
2. **曲线对称性**：
– 曲线C1与C2的对称性需证明C1上任意点关于对称中心或对称轴的对称点仍在C2上，反之亦然。
– 曲线C1：f(x, y) = 0关于y = x + a或y = -x + a的对称曲线C2方程为f(y – a, x + a)或f(-y + a, -x + a)。
– 曲线C1：f(x, y) = 0关于点(a, b)的对称曲线C2方程为f(2a – x, 2b – y)。
3. **对称性判定**：
– 若f(a + x) = f(a – x)恒成立，则函数图像关于直线x = a对称。
– 函数y = f(x – a)与y = f(b – x)的图像关于直线x = (a + b)/2对称。
### 函数的周期性
1. **周期函数定义**：若f(x)满足f(x + a) = f(x – a)或f(x – 2a) = f(x)（a > 0），则f(x)是周期为2a的周期函数。
2. **偶函数与对称轴**：若偶函数图像关于直线x = a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数。
3. **奇函数与对称轴**：若奇函数图像关于直线x = a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数。
4. **对称点周期性**：若f(x)关于点(a, 0)和(b, 0)对称，则f(x)是周期为2|a – b|的周期函数。
5. **对称直线周期性**：若f(x)的图像关于直线x = a和x = b（a ≠ b）对称，则f(x)是周期为2|b – a|的周期函数。
6. **对称点对称性**：若f(x)满足f(x + a) = -f(x)，则f(x)是周期为4a的周期函数。
### 函数值域与最值
1. **值域求解方法**：
– 直接法：通过观察函数解析式直接得出值域。
– 换元法：利用代数或三角换元简化函数形式。
– 反函数法：通过求反函数的定义域得到原函数的值域。
– 配方法：适用于二次函数或相关函数。
– 不等式法：利用基本不等式求解。
– 判别式法：适用于含根式或分式的函数。
– 单调性法：通过确定函数单调性求解值域。
– 数形结合法：借助几何方法或图像求解值域。
2. **最值与值域的关系**：函数的最值是值域中的极值点，但值域中未必存在最小或最大值。定义域对值域或最值有重要影响。
3. **实际应用**：函数最值常用于解决实际问题，如“工程造价最低”“利润最大化”等，需结合实际意义确定自变量范围。
### 函数的奇偶性
1. **定义**：若对任意x在定义域内，f(-x) = -f(x)则为奇函数；f(-x) = f(x)则为偶函数。
2. **必要条件**：奇偶函数的定义域必须关于原点对称，但对称性不一定是奇偶性的充分条件。
3. **等价形式**：f(x) = -f(x)或f(-x) = f(x)是定义域上的恒等式，即奇偶性是整体性质。
4. **性质与结论**：
– f(|x|)总是偶函数。
– 两个奇函数相加仍为奇函数，相乘为偶函数；两个偶函数相加或相乘仍为偶函数；奇偶函数相乘为奇函数。
– 奇偶函数的复合函数通常为偶函数。
– 奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数。
5. **充要条件**：
– 奇函数图像关于原点对称。
– 偶函数图像关于y轴对称。
– 若奇函数在x = 0处有定义，则f(0) = 0。
– 单调奇函数在正负对称区间上单调性相同，单调偶函数相反。
– 若定义域关于原点对称，则f(x) + f(-x)为偶函数，f(x) – f(-x)为奇函数。
6. **推广性质**：
– 若f(a + x) = f(a – x)，则图像关于直线x = a对称，即f(a + x)为偶函数。
– 若f(a + x) = -f(a – x)，则图像关于点(a, 0)中心对称，即f(a + x)为奇函数。
### 函数的单调性
1. **定义**：函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，当且仅当对任意x₁, x₂ ∈ [a, b]，若x₁ > x₂，则f(x₁) > f(x₂)。单调递减同理。
2. **关键点**：
– 单调性与区间密切相关，不同区间可具有不同单调性。
– 单调性是整体性质，需用任意x₁, x₂判断，不可用特殊值替代。
– 单调区间是定义域的子集，讨论时需在定义域范围内。
– 等价形式：
– 增函数：y = f(x)图像上任意两点(x₁, f(x₁)), (x₂, f(x₂))连线的斜率大于0。
– 减函数：斜率小于0。
– 单调性可“正逆互推”，即自变量大小关系与函数值大小关系可相互推导。
3. **复合函数单调性**：
– 若内函数g(x)与外函数f(u)单调性相同，则复合函数y = f[g(x)]单调递增。
– 若单调性相反，则复合函数单调递减（“同增异减”）。
4. **证明方法**：
– 定义法：任取x₁, x₂ ∈ M，比较f(x₁)与f(x₂)大小，得出单调性结论。
– 导数法：若f(x)可导，f′(x) > 0则单调递增，f′(x) 0）。
– y = f(x ± a)：沿x轴平移a个单位（a > 0）。
– y = -f(x)：关于x轴对称。
– y = f(|x|)：左右对称（关于y轴）。
– y = |f(x)|：上下对称（沿x轴翻折）。
– y = f⁻¹(x)：关于直线y = x对称。
– y = f(ax)：横坐标缩短到原长（a > 1）。
– y = af(x)：纵坐标伸长到原长|a|倍。
– y = f(-x)：关于y轴对称。
2. **抽象函数示例**：
– 定义在R上的函数f(x)满足f(x + y) + f(x – y) = 2f(x)f(y)，且f(0) ≠ 0。
① 令x = y = 0，得2f(0) = 2f²(0)，因f(0) ≠ 0，故f(0) = 1。
② 令x = 0，得f(y) + f(-y) = 2f(0)f(y)，即f(-y) = f(y)，故f(x)为偶函数。
③ 令x = y = c > 0，得f(x + c) + f(x) = 0，故f(x + c) = -f(x)。
④ 两边应用f(x + 2c) = -f(x + c) = f(x)，故f(x)是周期函数，周期为2c。
### 相关文章推荐
– 高一数学一次函数知识点总结
– 高一函数知识点总结归纳
– 高一数学必背知识点总结
– 高一数学函数的基本性质知识点梳理
– 高一数学知识点总结大全（最新版）
– 高一数学必修一函数知识点分析
– 高一数学知识点全面总结
– 人教版高一数学函数知识点
– 高一数学公式知识总结归纳
– 高一幂函数知识点总结
文章网址：https://www.gushiio.com/fangfa/gaozhongxuexi/63645.html
相关推荐
-
高考冲刺必备励志纯文字图片精选
人生路上难免遭遇失意与挫折，但每当这些困境降临，我们更应坚定信念，永不言弃。请永远铭记儿时心中那炽热的梦想，因为正是这份梦想，为人生涂抹上最绚丽的色彩。高三这一年，你将经历无数挑战…
-
高二数学知识点总结2022高效学习攻略
在学习新知识的同时，也不可忽视对旧知识的复习，这一过程虽然需要付出努力，但掌握劳逸结合的方法至关重要。只有保持充沛的精力，才能高效迎接新的挑战，实现事半功倍的学习效果。下面，我们将…
-
高一物理核心知识点速记指南
进入高中阶段后，许多新生常常会面临心理落差：身边不乏成绩更出色的同学，自己却显得黯淡无光，鲜有人关注自己的存在，由此产生心理失衡。这种感受在刚步入高中的学生中十分普遍，但关键在于要…
-
人教版高二语文知识点总结与劳逸结合学习法
在学习新知识的同时，也不可忽视对旧知识的复习，这一过程虽然充满挑战，但更需要注重劳逸结合。只有保持充沛的精力，才能有效应对新的学习任务，实现事半功倍的效果。下面，我们将为大家详细梳…
-
高三地理核心考点速记攻略
作为高三学子，此刻我们肩负着沉甸甸的使命，唯有脚踏实地、心无旁骛，才能在时间的洪流中把握每一分每一秒。紧跟老师的步伐，夯实知识基础，是我们冲刺高考的不二法门。正如那句励志的话语所言…
-
高三地理一轮复习必备背诵知识点总结
爱读书绝非恶习，正如老庄所言“吾生也有涯，而知也无涯”，老孔亦云“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”。这些先贤的智慧穿越千年，至今读来仍振聋发聩，便以此作为我热爱阅读的注脚吧。下…
-
高二物理下册必看知识点总结助你金榜题名
高二学年是学生生涯中一个关键的转折点，文理分科或七选三政策的实施，标志着他们首次需要独立规划未来发展方向。在这个阶段，学生不仅要对各个学科有初步认识，更要做出对自己学业和职业发展至…
-
高考地理高分策略：选择题技巧与必背知识点解析
高考地理能否取得高分？从历年高考数据分析来看，地理选择题的得分率波动远大于综合题，这意味着选择题的答题正确率直接决定了地理科目的最终成绩。为了帮助广大考生提升地理答题能力，本文将系…
-
高二地理下册重点知识点解析与学习攻略
俗话说得好：好学者如禾如稻，不好学者如篙如草。学习从来不是为了取悦他人，真正的收获只在自己的一念之间。纵观古今，多少大学问家都极力倡导终身学习，正如那句广为流传的俗语——活到老学到…
-
高中地理必背知识点总结归纳大全
在日复一日的学习生涯中，我们每个人都曾为记忆繁杂的知识点而苦恼。这些知识点，正是考试中衡量我们掌握程度的重要标尺，也是知识体系中的关键分支。为了帮助大家更系统、更高效地掌握高中地理…
-
高考地理冲刺必备九大核心考点速记
高考地理复习攻略：九大重点考点深度解析 随着高考的临近，地理学科的复习时间往往相对紧张。如何高效把握核心考点，成为考生们关注的焦点。本文将系统梳理高考地理九大重点考点，助你精准复习…
-
高中地理资源跨调配教案精选西气东输案例分析
专注于当下，切勿沉溺于享乐或学习进步中的苦闷。进步是一个量变积累到质变的过程，只有足够的积累才能引发突破，一味沉湎于痛苦无法带来改变。接下来，我们将深入探讨高中地理资源跨区域调配的…
