高中数学核心知识点总结与导数应用技巧

时光荏苒，如细沙从指缝间悄然流逝。回望这段充实的教学旅程，既有成长的喜悦，也有感动的瞬间。是时候沉淀思绪，撰写一份教学总结了。那么，如何撰写教学总结才能真实展现您的价值呢？下面为您精心整理的高中数学知识点总结归纳，希望能为您提供参考与启发。

### 高中数学知识点总结归纳

#### 一、导数的应用

1. **用导数研究函数的最值**
– 确定函数在其定义域内可导（通常为开区间），求出导函数的零点。
– 研究零点左右的函数单调性：若左增右减，则该零点处取极大值；若左减右增，则取极小值。
– 学习完导数与函数最值的关系后，可通过综合题检验学习成果。

2. **生活中常见的函数优化问题**
– 费用、成本最省问题
– 利润、收益最大问题
– 面积、体积最（大）问题

#### 二、推理与证明

1. **归纳推理**
– 归纳推理是高二数学的重点，难点在于从部分结论推导出一般规律。
– 方法：充分分析部分结论提供的信息，发现其中的普遍规律。

2. **类比推理**
– 类比推理由两类对象具有相似特征推出另一类对象也具有这些特征。
– 难点在于发现两类对象的相似性，方法是通过已掌握的数学知识分析关系，由已知特征推导所需特征。

#### 三、不等式

1. **含有参数的一元二次不等式解的讨论**
– **二次项系数**：分正数、零、负数三种情况讨论。
– **不等式对应方程的根**：
– 若方程根可通过因式分解求出，根据根的大小分类讨论。
– 若根无法因式分解，根据判别式分类讨论。

2. **不等式练习题**
– 通过练习熟练运用放缩法证明不等式。
– 掌握均值不等式求最值的九种技巧，这些解题思路需在练习中总结提炼。

#### 四、坐标平面上的直线

1. **内容要目**
– 直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程、直线方程的一般式。
– 直线的倾斜角和斜率。
– 点到直线的距离，两直线的夹角，两平行线之间的距离。

2. **基本要求**
– 掌握求直线的方法，熟练转化确定直线方向的不同条件（方向向量、法向量、斜率、倾斜角等）。
– 判断点与直线、直线与直线的位置关系，正确求点到直线的距离、两直线的交点坐标及夹角大小。

3. **重难点**
– 建立代数方法解决几何问题的观念，正确转化几何条件与代数表示。
– 定量研究点与直线、直线与直线的位置关系。
– 根据两个独立条件求出直线方程，熟练运用待定系数法。

#### 五、圆锥曲线

1. **内容要目**
– 直角坐标系中曲线C是方程F(x,y)=0的曲线及方程F(x,y)=0是曲线C的方程。
– 圆的标准方程及一般方程。
– 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及性质。

2. **基本要求**
– 理解曲线的方程与方程的曲线的意义，利用代数方法判断定点是否在曲线上及求曲线交点。
– 掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义和求方程的方法。
– 求曲线交点之间的距离及交点的中点坐标。
– 利用直线与圆、圆与圆的位置关系的几何判定，确定位置关系并解决几何问题。

3. **重难点**
– 建立数形结合的概念，理解曲线与方程的对应关系。
– 掌握代数研究几何的方法，将已知条件转化为等价的代数表示，通过代数方法解决几何问题。

### 高一数学上学期知识点复习

#### 1. 函数的奇偶性

（1）若f(x)是偶函数，则f(x)=f(-x)。

（2）若f(x)是奇函数，且0在其定义域内，则f(0)=0（可用于求参数）。

（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或f(x)≠0。

（4）解析式复杂的函数应先化简再判断奇偶性。

（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性。

#### 2. 复合函数的有关问题

（1）复合函数定义域求法：
– 若已知定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出。
– 若已知f[g(x)]的定义域为[a,b]，求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。

（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定。

#### 3. 函数图像（或方程曲线的对称性）

（1）证明函数图像的对称性：任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上。

（2）证明图像C1与C2的对称性：C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上，反之亦然。

（3）曲线C1：f(x,y)=0，关于y=x+a（y=-x+a）的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0（或f(-y+a,-x+a)=0）。

（4）曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0。

（5）若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称。

（6）函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称。

#### 4. 函数的周期性

（1）y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)（a>0）恒成立，则y=f(x)是周期为2a的周期函数。

（2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数。

（3）若y=f(x)是奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数。

（4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数。

（5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b（a≠b）对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数。

（6）y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)（或f(x+a)=f(x)）则y=f(x)是周期为2的周期函数。

#### 5. 方程与不等式

（1）方程k=f(x)有解k∈D（D为f(x)的值域）。

（2）a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max。

（3）a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min。

（4）对数运算：
– logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1)。
– logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1)。
– logab的符号由口诀“同正异负”记忆。
– a^logaN=N（a>0,a≠1,N>0）。

#### 6. 映射的判断

判断对应是否为映射时，抓住两点：
（1）A中元素必须都有象。
（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象。

#### 7. 函数性质的综合应用

能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

#### 8. 反函数的性质

（1）定义域上的单调函数必有反函数。

（2）奇函数的反函数也是奇函数。

（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数。

（4）周期函数不存在反函数。

（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性。

（6）y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f-1(x)]=x（x∈B），f-1[f(x)]=x（x∈A）。

#### 9. 二次函数问题的数形结合

二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：
一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系。

#### 10. 一次函数的保号性

依据单调性利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题。

#### 11. 恒成立问题的处理方法

（1）分离参数法。

（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式（组）求解。

### 练习题

1. (-3,4)关于x轴对称的点的坐标为_________,关于y轴对称的点的坐标为__________,关于原点对称的坐标为__________。

2. 点B(-5,-2)到x轴的距离是____,到y轴的距离是____,到原点的距离是____。

3. 以点(3,0)为圆心,半径为5的圆与x轴交点坐标为_________________,与y轴交点坐标为__________________。

4. 点P(a-3,5-a)在第一象限内,则a的取值范围是____________。

5. 小华用500元去购买单价为3元的一种商品,剩余的钱y(元)与购买这种商品的件数x(件)之间的函数关系是______________,x的取值范围是__________。

6. 函数y=的自变量x的取值范围是________。

7. 当a=____时,函数y=x是正比例函数。

8. 函数y=-2x+4的图象经过___________象限,它与两坐标轴围成的三角形面积为_________,周长为_______。

9. 一次函数y=kx+b的图象经过点(1,5),交y轴于3,则k=____,b=____。

10. 若点(m,m+3)在函数y=-x+2的图象上,则m=____。

11. y与3x成正比例,当x=8时,y=-12,则y与x的函数解析式为___________。

12. 函数y=-x的图象是一条过原点及(2,___)的直线,这条直线经过第_____象限,当x增大时,y随之________。

13. 函数y=2x-4,当x_______,y<0。

### 高一数学必考知识点

#### 1. “包含”关系—子集

注意：有两种可能：
（1）A是B的一部分；
（2）A与B是同一集合。

反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA。

#### 2. “相等”关系

（1）定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B。

（2）结论：
① 任何一个集合是它本身的子集。AíA
② 真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）
③ 如果AíB,BíC,那么AíC
④ 如果AíB同时BíA那么A=B

#### 3. 空集

不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ。规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

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