北京版七年级上册数学电子课本及知识点解析

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### 单项式与多项式

**单项式**
1. 没有加减运算的整式称为单项式，包括数字与字母的积（如单独的数或字母）。
2. 几个单项式的和构成多项式，其中每个单项式为多项式的项，不含字母的项为常数项。

**说明**
① 整式与分式的主要区别在于除式中是否含有字母；单项式与多项式则通过整式中是否存在加减运算来区分。
② 代数式分类需以原始形式为依据，而非变形后的结果，划分时需从外形特征判断。

**单项式要点**
1. 由数字与字母乘积构成的代数式为单项式。
2. 单项式的数字因数称为系数，所有字母指数之和为次数。
3. 单独的数或字母也是单项式，其系数即本身数值。
4. 系数为1或-1时通常省略数字“1”，但需注意系数包含正负号。
5. 单项式次数仅与字母有关，与系数无关。

**多项式要点**
1. 多项式由多个单项式相加构成，每一项均需保留符号。
2. 多项式的次数由最高次项决定，不含字母的项为常数项。
3. 多项式无系数概念，但存在次数概念，即最高次项的指数。

**整式**
1. 单项式与多项式统称为整式，但整式不一定是单项式或多项式。
2. 分母含字母的代数式属于分式，而非整式。

### 有理数系统

**第一章 有理数**

**1.1 正数与负数**
① 正数：大于0的数，有时在正号前加“+”表示强调。
② 负数：0以外的数加负号“—”，与正数意义相反。
③ 0既非正数也非负数，是正负数的分界点。

**注意**：需区分相反意义的量（如南北、东西、上下、升降等）。

**1.2 有理数**
1. **定义**：
– 整数（正整数、0、负整数）
– 分数（正分数、负分数）
– 有理数：整数与分数的统称，可用m/n（m,n为整数，n≠0）表示。

2. **数轴**：
– 用直线上的点表示数，包含原点、正方向、单位长度三要素。
– 原点：直线上表示0的点。
– 数轴与有理数的关系：所有有理数均可用数轴点表示，但数轴点不一定是有理数。
– 相反数：符号不同且绝对值相等的两个数（如2与-2）。
– 绝对值：数轴上点与原点的距离，记作|a|。
– 正数绝对值为其本身；
– 负数绝对值为相反数；
– 0的绝对值为0；
– 两个负数中绝对值大的反而小。

**1.3 有理数运算**

**加法法则**
1. 同号相加：取相同符号，绝对值相加。
2. 异号相加：取绝对值较大的符号，用较大绝对值减去较小绝对值。
– 互为相反数的两数相加得0。
3. 加0：结果仍为原数。
– 加法交换律与结合律成立。

**减法法则**
减去一个数等于加上其相反数。

**乘法法则**
1. 同号得正，异号得负，绝对值相乘。
2. 任何数乘0得0。
3. 乘积为1的两数互为倒数。
– 乘法满足交换律、结合律、分配律。

**除法法则**
1. 除以一个数等于乘其倒数。
2. 同号得正，异号得负，绝对值相除。
3. 0除以非0数得0。

**1.4 有理数乘方**
乘方：n个相同因数的积，结果称为幂。
– a^n中，a为底数，n为指数。
– 负数奇次幂为负，偶次幂为正；
– 正数任何次幂为正；
– 0的任何次幂为0。

**混合运算法则**
1. 优先乘方，再乘除，最后加减。
2. 同级运算从左到右。
3. 括号内优先计算，按小括号→中括号→大括号顺序。

**科学计数法**
将大于10的数表示为a×10^n（1≤a<10）。

**有效数字**
从第一个非0数字到末位数字的所有数字。
四舍五入需从目标位下一位开始，而非从末尾向前。
（例：3.5449精确到0.01为3.54，而非3.55。）

### 整式的加减乘除

**第二章 整式的加减**

**2.1 单项式与多项式**
– 单项式：数字与字母的乘积，如3x²。
– 系数：数字因数（如3）；
– 次数：所有字母指数之和（x²为2次）。
– 多项式：单项式之和，如3x² + 2x – 5。
– 项：多项式中的单项式；
– 常数项：不含字母的项（-5）；
– 次数：最高次项的指数（此处为2次）。

**2.2 同类项与合并**
– 同类项：字母相同且相同字母指数也相同的项，与系数无关。
– 合并法则：系数相加，字母部分不变。
– 降幂排列：按字母指数从大到小排列。

**整式加减步骤**
1. 去括号；
2. 合同类项；
3. 化简。

**2.3 整式乘法**
– 单项式×单项式：系数、同底数幂相乘，其余字母不变。
– 单项式×多项式：单项式乘以多项式每一项，再相加。
– 多项式×多项式：逐项相乘后求和。

**2.4 整式除法**
– 单项式÷单项式：系数、同底数幂相除，其余字母作商的因式。
– 多项式÷单项式：逐项相除后求和。

### 追及问题技巧

**追及问题核心公式**
1. 相遇路程 = 速度和 × 相遇时间
2. 相遇时间 = 相遇路程 ÷ 速度和
3. 速度和 = 相遇路程 ÷ 相遇时间

**常见类型**
– **相遇问题**：多物体相向运动，求相遇时间或全程。
– **流水行船**：船速受水流影响，需考虑顺流/逆流速度差异。
– **火车行程**：需考虑车长对总路程的影响。
– **钟表问题**：可视为圆形轨道上的追及/相遇，需区分特殊时钟（如慢钟、快钟）。

通过以上系统化的整理，同学们可以更清晰地掌握七年级上册数学的核心知识点，为后续学习打下坚实基础。

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