2022高一数学必备知识点大全及高效学习方法

高一新生们，面对高中数学学科知识交叉多、综合性强的特点，以及考查的知识点和思维触点广泛的要求，找到一套行之有效的学习方法至关重要。下面为您精心整理的高一数学知识点大全，将助您在数学学习的道路上更加得心应手，为未来的学习打下坚实基础。

### (一) 映射、函数、反函数

1. **对应、映射、函数的关系**
对应、映射和函数三者之间既有共性，也存在显著区别。映射是一种特殊的对应，而函数则是映射中的特殊情况，即每个输入值都对应唯一输出值的映射。

2. **函数概念的理解要点**
(1) **三要素**：掌握函数的构成要素——定义域、值域和对应法则，能够判断两个函数是否等同。
(2) **三种表示法**：熟练运用列表法、解析法和图象法表示函数，并能够根据实际问题建立变量间的函数关系式，尤其是分段函数的解析式求解。
(3) **复合函数**：若 \( y = f(u) \)，\( u = g(x) \)，则 \( y = f[g(x)] \) 称为 \( f \) 和 \( g \) 的复合函数，其中 \( g(x) \) 为内函数，\( f(u) \) 为外函数。

3. **反函数的求解步骤**
(1) **确定值域**：原函数的值域即为反函数的定义域。
(2) **求解解析式**：由 \( y = f(x) \) 解出 \( x = f^{-1}(y) \)。
(3) **对换变量**：将 \( x \) 和 \( y \) 对换，得到反函数的标准形式 \( y = f^{-1}(x) \)，并注明其定义域。
**注意**：
– 分段函数的反函数需分段求解后合并。
– 利用 \( f^{-1}(x_0) \) 的结论可简化运算，避免繁琐的反函数求解过程。

### (二) 函数的解析式与定义域

1. **定义域的重要性**
函数与其定义域密不可分，没有定义域的函数在数学上不存在。因此，求解函数解析式时，必须同时确定其定义域。

2. **定义域的求解类型**
(1) **实际问题**：自变量 \( x \) 具有实际意义，需结合问题背景确定定义域。
(2) **解析式给定**：
– 分式分母不为零；
– 偶次方根的被开方数非负；
– 对数函数的真数大于零；
– 指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；
– 特殊三角函数（如 \( y = \tan x \)，\( y = \cot x \)）需排除无意义点。
**注意**：多部分组成的函数，定义域为各部分取值范围的交集。
(3) **已知定义域求另一函数定义域**：需深刻理解定义域的内涵，如 \( f(x) \) 定义域为 \( [a, b] \)，则 \( f[g(x)] \) 的定义域为满足 \( a \leq g(x) \leq b \) 的 \( x \) 范围；反之，若 \( f[g(x)] \) 定义域为 \( [a, b] \)，则 \( g(x) \) 的值域为 \( [a, b] \)。

3. **解析式求解的四种情况**
(1) **实际问题建模**：引入合适变量，运用数学知识建立函数关系式。
(2) **待定系数法**：如一次函数 \( f(x) = ax + b \)，通过题设条件列方程组求解 \( a \) 和 \( b \)。
(3) **换元法**：给定复合函数 \( f[g(x)] \) 时，通过换元法求解 \( f(x) \)，需先确定 \( g(x) \) 的值域。
(4) **方程组法**：若 \( f(x) \) 满足含其他未知量的等式（如 \( f(-x) \)），需构造方程组求解。

### (三) 函数的值域与最值

1. **值域的求解方法**
函数的值域由定义域和对应法则决定，求解时需先确定定义域。常用方法包括：
(1) **直接法**：通过不等式性质直接观察简单函数的值域。
(2) **换元法**：运用代数或三角换元将复杂函数转化为简单形式，如根式内为一次式用代数换元，二次式用三角换元。
(3) **反函数法**：利用反函数定义域与原函数值域的关系，通过求反函数定义域得到原函数值域，适用于形如 \( y = \frac{a}{x} + b \) 的函数。
(4) **配方法**：适用于二次函数或相关函数。
(5) **不等式法**：利用基本不等式 \( a + b \geq 2\sqrt{ab} \) 求值域，需满足“一正二定三相等”条件。
(6) **判别式法**：将 \( y = f(x) \) 变形为关于 \( x \) 的一元二次方程，利用判别式 \( \Delta \geq 0 \) 求值域，适用于含根式或分式的函数。
(7) **单调性法**：确定函数单调性后，可直接得出值域。
(8) **数形结合法**：借助函数几何意义或图象求解值域。

2. **最值与值域的区别**
求最值与求值域方法类似，但提问角度不同。值域是函数可能取值的集合，而最值是值域中的最小或最大值。例如，值域为 \( (0, 16] \) 时，最大值为16，但无最小值；值域为 \( (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) \) 时，函数无最值，需调整定义域才能求解。

3. **最值在实际问题中的应用**
最值常用于解决实际问题，如“工程造价最低”“利润最大化”“面积最小化”等。求解时需结合实际意义对自变量进行约束，确保结果合理。

### (四) 函数的奇偶性

1. **奇偶性定义**
对于函数 \( f(x) \)，若对定义域内任意 \( x \)，都有 \( f(-x) = -f(x) \) 或 \( f(-x) = f(x) \)，则称 \( f(x) \) 为奇函数或偶函数。
**注意**：
– 定义域关于原点对称是奇偶性的必要不充分条件。
– 奇偶性是定义域上的整体性质，需满足恒等式。

2. **奇偶性判断依据**
(1) **定义法**：直接验证 \( f(-x) = -f(x) \) 或 \( f(-x) = f(x) \)。
(2) **化简法**：对函数进行化简，利用等价形式判断。
**常用结论**：
– \( f(|x|) \) 总是偶函数；
– 两个奇函数之和为奇函数，乘积为偶函数；
– 两个偶函数之和为偶函数，乘积为偶函数；
– 奇函数与偶函数的乘积为奇函数；
– 奇偶函数的复合函数通常为偶函数；
– 奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数。

3. **奇偶性相关性质**
(1) 奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于 \( y \) 轴对称。
(2) 定义域关于原点对称且函数值恒为零的函数，既是奇函数又是偶函数。
(3) 奇函数 \( f(x) \) 若在 \( x = 0 \) 处有定义，则 \( f(0) = 0 \)。
(4) 单调奇（偶）函数在正负对称区间上的单调性相同（相反）。
(5) 定义域关于原点对称时，\( F(x) = f(x) + f(-x) \) 为偶函数，\( G(x) = f(x) – f(-x) \) 为奇函数。
(6) 推广性质：若 \( f(a + x) = f(a – x) \)，则图象关于 \( x = a \) 对称；若 \( f(a + x) = -f(a – x) \)，则图象关于 \( (a, 0) \) 中心对称。

### (五) 函数的单调性

1. **单调性定义**
函数 \( f(x) \) 在区间 \( [a, b] \) 上，若对任意 \( x_1, x_2 \) 满足 \( x_1 > x_2 \) 则 \( f(x_1) > f(x_2) \)，称 \( f(x) \) 单调递增；反之，称单调递减。
**理解要点**：
– 单调性与区间密切相关，不同区间可能具有不同单调性；
– 单调性是整体性质，需用任意 \( x_1, x_2 \) 验证，避免用特殊值替代；
– 单调区间是定义域的子集，讨论时需在定义域范围内进行；
– 几何意义：增（减）函数图象上任意两点连线的斜率均大于（小于）零。
– 单调性具有“正逆互推”性质，即自变量大小关系与函数值大小关系可相互推导。

2. **复合函数单调性**
若 \( u = g(x) \) 在 \( [a, b] \) 上单调，且 \( y = f(u) \) 在 \( [g(a), g(b)] \) 或 \( [g(b), g(a)] \) 上单调性相同，则复合函数 \( y = f[g(x)] \) 在 \( [a, b] \) 上单调递增；否则单调递减（简称“同增、异减”）。
**技巧**：化简函数，转化为常见函数（一次、二次、指数、对数）的单调性判断，可大幅简化过程。

3. **单调性证明方法**
(1) **定义法**：任取 \( x_1, x_2 \in M \)，若 \( x_1 > x_2 \) 则 \( f(x_1) > f(x_2) \)，推导出结论。
(2) **导数法**：若 \( f(x) \) 在某区间内可导，\( f'(x) > 0 \) 则单调递增，\( f'(x) 0 \) 替换 \( x, y \)，有 \( f(x + c) + f(x) = 0 \)，故 \( f(x + c) = -f(x) \)。
两边应用上述结论，得 \( f(x + 2c) = -f(x + c) = -[-f(x)] = f(x) \)，
因此 \( f(x) \) 是周期函数，\( 2c \) 为其周期。

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### 高一数学必修一知识点总结：集合与函数

#### 集合的运算
| 运算类型 | 交集 | 并集 | 补集 |
|———-|——|——|——|
| **定义域** | \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{R} \) |
| **值域** | \( > 0 \) | \( > 0 \) | \( > 0 \) |
| **单调性** | 在 \( \mathbb{R} \) 上单调递增 | 在 \( \mathbb{R} \) 上单调递减 | 非奇非偶函数 |
| **图象特性** | 函数图象都过定点 \( (0, 1) \) | 函数图象都过定点 \( (0, 1) \) | 注意：利用函数单调性结合图象还可得出：
– 在 \( [a, b] \) 上，值域为 \( (a, b) \) 或 \( [a, b] \)；
– 若 \( f(a) = 0 \)，则 \( a \) 为零点；
– 取遍所有正数当且仅当 \( f(0) = 1 \)；
– 对于指数函数，总有 \( f(1) = a \)。

#### 二、对数函数
**（一）对数**
1. **概念**：若 \( a^b = N \)，则 \( b \) 称为以 \( a \) 为底 \( N \) 的对数，记作 \( \log_a N = b \)。
– 底数限制：\( a > 0 \)，\( a \neq 1 \)；
– 真数限制：\( N > 0 \)；
– 书写格式需规范。
2. **重要对数**：
– 常用对数：以10为底；
– 自然对数：以无理数 \( e \) 为底。
3. **指数式与对数式互化**：
– 指数式：\( a^b = N \)；
– 对数式：\( \log_a N = b \)。

**（二）对数运算性质**
若 \( a > 0 \)，\( a \neq 1 \)，\( M > 0 \)，\( N > 0 \)，则：
– \( \log_a (M \cdot N) = \log_a M + \log_a N \)；
– \( \log_a \left( \frac{M}{N} \right) = \log_a M – \log_a N \)；
– 换底公式：\( \log_a N = \frac{\log_b N}{\log_b a} \)。
**推导结论**：
1. \( \log_a 1 = 0 \)；
2. \( \log_a a = 1 \)；
3. \( \log_a (M^p) = p \log_a M \)。

**重要公式**：
① 负数与零无对数；
② \( \log_a (M \cdot N) = \log_a M + \log_a N \)；
③ 对数恒等式：\( a^{\log_a N} = N \)。

**（二）对数函数**
1. **概念**：函数 \( y = \log_a x \)（\( a > 0 \)，\( a \neq 1 \)）称为对数函数，定义域为 \( (0, +\infty) \)。
– 注意：与指数函数类似，均为形式定义，如 \( y = \log_2 (x + 1) \) 为对数型函数。
– 底数限制：\( a > 1 \) 或 \( 0 < a 1 \)：定义域 \( x > 0 \)，值域为 \( \mathbb{R} \)，单调递增，图象过定点 \( (1, 0) \)；
– \( 0 < a 0 \)，值域为 \( \mathbb{R} \)，单调递减，图象过定点 \( (1, 0) \)。

#### 四、幂函数
1. **定义**：形如 \( y = x^a \)（\( a \) 为常数）的函数称为幂函数。
2. **性质归纳**：
– 所有的幂函数在 \( (0, +\infty) \) 有定义，图象都过定点 \( (1, 1) \)；
– \( a > 1 \)：图象通过原点，在 \( (0, +\infty) \) 上单调递增。特别地，
– \( a > 0 \)：图象下凸；
– \( a < 0 \)：图象上凸；
– \( 0 < a < 1 \)：在 \( (0, +\infty) \) 上单调递减。
– \( a < 0 \)：在第一象限内，当 \( x \) 从右边趋向原点时，图象逼近 \( x \) 轴正半轴；当 \( x \to +\infty \) 时，图象逼近 \( y \) 轴正半轴。

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