八年级数学分式方程复习指南必看

鼓狮 • • 初中学习方法

分式与分式方程是初中数学中的核心知识点，掌握其概念、性质和运算方法对于后续学习至关重要。下面为您带来一份详尽的八年级数学分式及分式方程单元复习资料，助您巩固知识、提升能力！

【知识要点】

1、分式的定义：若A、B表示两个整式，且B中含有字母，则称形如A/B的式子为分式。其中，A称为分式的分子，B称为分式的分母。

2、分式的意义：当分母B≠0时，分式有意义；当分子A=0且分母B≠0时，分式的值为零。（注意分式与分数的区别在于分母是否含有字母）

3、分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。用字母表示为：A/B = (A×C)/(B×C) 或 A/B = (A÷C)/(B÷C)（其中C为非零整式）。这一性质常用于化简分式、改变分子分母符号、将系数化为整数等操作。

4、分式的约分：将分式的分子与分母分解因式后，约去分子与分母的公因式，使分式化为最简形式。公因式的确定方法通常采用”短除法”或”分解质因数法”。

5、最简分式：分子与分母没有公因式（除1外）的分式。判断最简分式的方法是检查分子分母的最大公因数是否为1。

6、分式的通分：将异分母的分式化为同分母的分式。通分的关键是确定最简公分母，即取各分母所有因式的最高次幂的积。

7、最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积。确定方法：分解各分母因式，取所有不同因式的最高次幂相乘。

8、分式加减法法则：先通分，然后将分子相加减，最后约简。加减法的结果应化成最简分式或整式。

9、分式乘除法则：直接将分子相乘，分母相乘，然后约简。乘除法的结果应化成最简分式。

10、分式混合运算的顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号内；同级运算从左到右。

11、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程。解分式方程的关键是去分母转化为整式方程。

12、解分式方程的基本思想：通过去分母将分式方程转化为整式方程求解；如何实现：方程两边同乘以各分母的最简公分母。

13、方程的增根：解分式方程时，由于去分母可能产生使原方程分母为零的解，这样的解称为增根。必须检验解是否满足原方程。

14、解分式方程的步骤：①去分母转化为整式方程；②解整式方程；③检验并舍去增根。

15、用分式方程解决实际问题的步骤：①审题，找出等量关系；②设未知数；③列分式方程；④解方程；⑤检验并作答。

【习题巩固】

一、填空题

1、当x≠-2时，分式(x+2)/(x-1)有意义；当x=1时，分式无意义。

2、分式(3x-6)/x²：当x=2时分式的值为零。

3、(x+1)/(x-1)和(2x-1)/(2x+1)的最简公分母是(2x-1)(2x+1)。

4、若a/b=c/d，则ad=bc。

5、若m/n=p/q，则(m+n)/(m-n)=(p+q)/(p-q)。

6、已知x=1是方程2/x-1=3的解，则方程的解为x=2/3。

7、一件工作，甲单独做3小时完成，乙单独做4小时完成，则甲、乙合作1.2小时完成。

8、若分式方程x/(x-1)=2的一个解是x=2，则方程的解为x=2。

9、当x=1，y=2时，计算(x+y)/(x-y)=3/1=3。

10、若分式13-x的值为整数，则整数x=12或14。

11、不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数:
①23x/32y ÷ 56(x+y) = 23x/32y × 56/(x+y) = 23x×56/(32y×(x+y)) = 1288x/(32y(x+y)) = 40.25x/(y(x+y));
②0.3a-2b ÷ -a+0.7b = (3a-20b)/(-10a+7b) = (3a-20b)/(-10a+7b) = (3a-20b)/(-10a+7b) = (3a-20b)/(-10a+7b)。

12、已知x=1是方程kx/x+1=2的增根，则k=-3。

13、若分式(2x-1)/x²的值为负数，则x的取值范围是x1/2。

14、约分：①(12a²b)/(18ab³) = (2a)/(3b²)；②(15x³y)/(35x²y²) = (3x)/(7y)。

15、一项工程，甲单独做x小时完成，乙单独做y小时完成，则两人一起完成这项工程需要xy/(x+y)小时。

16、若关于x的分式方程(2x-1)/(x-1)=m无解，则m的值为1。

17、若a/b=c/d，则(a+c)/(b+d)=(ac)/(bd)。

18、①(6x²y)/(9xy²) = (2x)/(3y)；②(15a²b)/(10ab²) = (3a)/(2b)。

19、如果(3x-2)/(x+1)=2，则x=4。

20、在等号成立时，右边填上适当的符号：x²/x+1 = x/(x+1)。

21、已知a+b=5，ab=3，则(a²+b²)/(a³+b³) = (25-6)/(125-27) = 19/98。

22、某工厂库存原材料x吨，原计划每天用a吨，若现在每天少用b吨，则可以多用(x÷(a-b))天。

23、某商场降价销售一批服装，打8折后售价为120元，则原销售价是150元。

24、已知(3x-2)/(x+1)=1，则B=1。

25、甲、乙两人从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的b/(a+b)倍。

二、选择题

1、下列各式1/x，x²+1/x，1+x中，分式有3个，选C。

2、如果把分式x²/x+1中的x和x+1都扩大3倍，那么分式的值不变，选D。

3、下列约分结果正确的是(12a²b)/(18ab³) = (2a)/(3b²)，选A。

4、计算(2x-1)/(x-1) – (x+1)/(x-1) = 1，结果为A。

5、某农场开挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么求时列方程正确的是480/x – 480/(x+20)=4，选B。

6、下列说法正确的是分母不等于零，分式有意义，选B。

7、与分式-x+y/(x+y)相等的是-x-y/(x+y)，选C。

8、下列分式一定有意义的是x²/(x²+1)，选A。

9、下列各分式中，最简分式是x²+1/x²-1，选D。

10、在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米，下坡时的速度为每小时V2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时2V1V2/(V1+V2)千米，选C。

11、若把分式x²/x+1中的x和x+1都扩大3倍，那么分式的值不变，选B。

12、已知x²/x+1=1，则x=0，选A。

13、若已知分式x²/x-1的值为0，则x-1的值为0，选D。

14、已知x²/x+1 = x/(x+1)，等于1，选A。

三、计算题

1、(2x-1)/(x+1) – (x+1)/(x-1) = (2x-1)(x-1) – (x+1)(x+1)/(x²-1) = (2x²-3x+1-x²-2x-1)/(x²-1) = (x²-5x)/(x²-1)。

2、(3x+2)/(x-1) ÷ (x+1)/(x+2) = (3x+2)/(x-1) × (x+2)/(x+1) = (3x²+8x+4)/(x²-1)。

四、解方程

1、(2x-1)/(x+1) = 1，解得x=2。

2、(x+1)/(x-1) = 2，解得x=3。

五、先化简，再请你用喜爱的数代入求值：(x²-1)/(x-1) ÷ (x+1)/(x²+1)，当x=2时，原式=5。

六、列分式方程解应用题

1、设步行速度为v千米/小时，则骑自行车速度为4v千米/小时，根据题意得7/v+2/4v=2，解得v=3.5，4v=14，答：步行速度为3.5千米/小时，骑自行车速度为14千米/小时。

2、设步行速度为v千米/小时，则骑自行车速度为2v千米/小时，根据题意得4.5/v-4.5/(2v)=0.5，解得v=3，2v=6，答：步行速度为3千米/小时，骑自行车速度为6千米/小时。

3、设原计划x个月完成，根据题意得1/x = 1/(x-6) + 1/(x-2)，解得x=12，答：原计划12个月完成。

4、设甲班单独完成任务需x天，乙班需y天，根据题意得6/x+4/(x+6)=1，解得x=6，y=12，答：甲班单独完成任务需6天，乙班需12天。

5、设甲乙两港相距s千米，根据题意得(s/(8+2))+(s/(8-2))=9，解得s=36，答：甲乙两港相距36千米。

七、解答题

1、若x+y=5，xy=6，且3x+2y-z=14，求x,y,z的值。解得x=2，y=3，z=1。

2、已知(x²+1)/(x²+x+1)=1，说明不论x取何值，y的值都不变，因为分子分母最高次项系数相等，常数项为0。

3、(1)将甲种漆3g与乙种漆4g倒入一容器内搅匀，则甲种漆占混合漆的3/(3+4)=3/7；如从这容器内又倒出5g漆，那么这5g漆中有甲种漆有3/7×5=15/7g。

(2)设混合前两个杯子中盛的牛奶和豆浆的体积相等，均为a，勺的容积为b。混合前的体积 第一次混合后 第二次混合后 豆浆 a 0 a-b 牛奶 0 a b 豆浆 a-b b a-b-b 牛奶 b a-b b ①将上面表格填完(表格中只需列出算式，无需化简). ②请通过计算判断：最后两个杯子中都有牛奶和豆浆，究竟是豆浆杯子中的牛奶多，还是牛奶杯子中的豆浆多呢? 通过计算发现，豆浆杯子中的牛奶比牛奶杯子中的豆浆多。

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