北京版九年级下册数学电子课本获取与学习攻略

数学作为一门探索数量、结构、变化、空间及信息等核心概念的学科，其魅力在于逻辑的严谨与应用的广泛。那么，如何高效学习九年级下册的数学电子课本呢？以下是针对北京版九年级下册数学电子课本的学习建议，供同学们参考。

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### 直线与圆的位置关系

在平面几何中，直线与圆的位置关系是重要的知识点，主要包括以下三种情况：

1. **相离**：直线与圆无公共点。当圆心到直线的距离 \(d\) 大于半径 \(r\) 时，即 \(d > r\)，直线与圆相离。
2. **相交**：直线与圆有两个公共点，此时直线被称为圆的割线。若圆心到直线的距离 \(d\) 小于半径 \(r\)，即 \(d 0\)，则直线与圆相交，有两个交点。
– 若 \(\Delta = 0\)，则直线与圆相切，有一个交点。
– 若 \(\Delta < 0\)，则直线与圆相离，无交点。
2. 特殊情况：当直线方程为 \(Ax + C = 0\)（即 \(B = 0\)）时，直线垂直于 \(x\) 轴。此时，将 \(x = -C/A\) 代入圆的方程，求出对应的 \(y\) 值，根据 \(y\) 值的个数判断位置关系。

### 九年级数学下册期末测试题及答案

为了检验学习成果，以下是一些典型的测试题及参考答案：

#### 选择题

1. 在直角三角形 \(△ABC\) 中，若 \(\tan A = \frac{5}{12}\)，则 \(\sin B\) 的值为：
– A. \(\frac{12}{13}\)
– B. \(\frac{1}{13}\)
– C. \(\frac{5}{12}\)
– D. \(\frac{1}{2}\)
**答案**：B

2. 抛物线 \(y = -(x + 2)^2 + 3\) 的顶点坐标是：
– A. \((-2, 3)\)
– B. \((2, 3)\)
– C. \((2, -3)\)
– D. \((-2, -3)\)
**答案**：A

3. 在圆 \(⊙O\) 中，若弦 \(AB = AC\)，且 \(\angle AOB = 122°\)，则 \(\angle AOC\) 的度数为：
– A. \(122°\)
– B. \(120°\)
– C. \(61°\)
– D. \(58°\)
**答案**：A

4. 已知 \(\alpha\) 为锐角，且 \(\sin(\alpha – 20°) = \frac{3}{2}\)，则 \(\alpha\) 的值为：
– A. \(20°\)
– B. \(40°\)
– C. \(60°\)
– D. \(80°\)
**答案**：D

5. 关于二次函数 \(y = (x + 2)^2\) 的图像，下列说法正确的是：
– A. 开口向下
– B. 最低点是 \(A(2, 0)\)
– C. 对称轴是直线 \(x = 2\)
– D. 对称轴的右侧部分 \(y\) 随 \(x\) 的增大而增大
**答案**：D

6. 在斜面 \(AC\) 上，坡度（\(CD\) 与 \(AD\) 的比）为 \(1:2\)，且 \(AC = 35\) 米，坡顶旗杆 \(BC\) 的顶端 \(B\) 与 \(A\) 点有一条彩带相连，若 \(AB = 10\) 米，则旗杆 \(BC\) 的高度为：
– A. 5 米
– B. 6 米
– C. 8 米
– D. \(\sqrt{3} + 5\) 米
**答案**：A

7. 在四边形 \(ABCD\) 是圆 \(⊙O\) 的内接四边形，圆的半径为 2，\(\angle B = 135°\)，则 \(AC\) 的长度为：
– A. \(2\pi\)
– B. \(\pi\)
– C. \(\frac{\pi}{2}\)
– D. \(\pi\)
**答案**：B

8. 在圆 \(⊙O\) 中，若弦 \(AB\) 被半径 \(OC\) 垂直平分，要使四边形 \(OACB\) 为菱形，还需添加的条件是：
– A. \(AD = BD\)
– B. \(OD = CD\)
– C. \(\angle CAD = \angle CBD\)
– D. \(\angle OCA = \angle OCB\)
**答案**：B

9. 已知二次函数 \(y = x^2 + bx + 3\)，其图像经过点 \((1, 2)\)，则函数 \(y = x^2 + (b – 1)x + 3\) 的图像可能是：
– A.
– B.
– C.
– D.
**答案**：C

10. 在圆 \(⊙O\) 上，点 \(A\) 的半径为 2，过 \(OA\) 上一点 \(P\) 作直线 \(l\)，与过 \(A\) 点的切线交于点 \(B\)，且 \(\angle APB = 60°\)，设 \(OP = x\)，则 \(\triangle PAB\) 的面积 \(y\) 关于 \(x\) 的函数图像大致是：
– A.
– B.
– C.
– D.
**答案**：D

#### 填空题

11. 在 \(6 \times 6\) 的方格纸中，若 \(\angle BAC\) 位于其中，则 \(\tan \angle BAC\) 的值为：
**答案**：\(\frac{3}{2}\)

12. 函数 \(y = x^2 + bx – c\) 的图像经过点 \((1, 2)\)，则 \(b – c\) 的值为：
**答案**：1

13. 小明骑自行车以 15 千米/小时的速度在公路上向正北方向匀速行进，出发时在 \(B\) 点观察到仓库 \(A\) 在北偏东 \(30°\) 处，骑行 20 分钟后到达 \(C\) 点，此时仓库正好在东南方向，则仓库到公路的距离为：
**答案**：1.8 千米

14. 将抛物线 \(y = x^2 + 2x – 1\) 向上平移，使其经过点 \(A(0, 3)\)，则新抛物线的表达式是：
**答案**：\(y = x^2 + 2x + 3\)

15. 在圆 \(⊙O\) 中，直径 \(AB\) 垂直于弦 \(CD\)，若 \(AC = 2\)，\(BC = 1\)，则 \(\cos \angle ABD\) 的值为：
**答案**：\(\frac{1}{3}\)

16. 在圆 \(⊙O\) 上，点 \(A\)、\(B\)、\(C\) 的直径为 3，\(\angle BAC = 45°\)，则图中阴影的面积等于：
**答案**：\(\frac{3\pi}{4} – \frac{3}{2}\)

17. 在等边三角形 \(△ABC\) 中，\(AB = 6\)，动点 \(O\) 从 \(A\) 出发沿 \(A \rightarrow C \rightarrow B \rightarrow A\) 的路线匀速运动一周，速度为 1 个单位长度/秒，以 \(O\) 为圆心，3 为半径的圆在运动过程中与 \(△ABC\) 的边第二次相切时是出发后第：
**答案**：4 秒

18. 在平行于 \(x\) 轴的直线 \(AC\) 分别交抛物线 \(y_1 = x^2 (x \geq 0)\) 与 \(y_2 = x^3 (x \geq 0)\) 于 \(B\)、\(C\) 两点，过 \(C\) 作 \(y\) 轴的平行线交 \(y_1\) 于 \(D\)，直线 \(DE \parallel AC\) 交 \(y_2\) 于 \(E\)，则 \(DE/AB\) 的值为：
**答案**：3

#### 解答题

19. 已知：圆 \(⊙O\) 的半径为 3，弦 \(AB\) 的长为 4。求 \(\sin A\) 的值。

**解**：过 \(O\) 作 \(OC \perp AB\) 于 \(C\)，则有 \(AC = BC\)。因为 \(AB = 4\)，所以 \(AC = 2\)。在直角三角形 \(△AOC\) 中，\(OC = \sqrt{OA^2 – AC^2} = \sqrt{3^2 – 2^2} = \sqrt{5}\)。因此，\(\sin A = \frac{OC}{OA} = \frac{\sqrt{5}}{3}\)。

20. 已知二次函数 \(y = a(x – h)^2 + k (a \neq 0)\) 的图像经过原点，当 \(x = 1\) 时，函数有最小值为 -1。

(1) 求这个二次函数的表达式，并画出图像；
(2) 利用图像填空：这条抛物线的开口向______，顶点坐标为______，对称轴是直线______，当______时，\(y \leq 0\)。

**解**：
(1) 因为当 \(x = 1\) 时，函数有最小值为 -1，所以二次函数的表达式为 \(y = a(x – 1)^2 – 1\)。因为图像经过原点，所以 \((0 – 1)^2 \cdot a – 1 = 0\)。解得 \(a = 1\)。因此，二次函数的表达式为 \(y = (x – 1)^2 – 1\)。图像略。
(2) 上，(1, -1)，\(x = 1\)，\(0 \leq x \leq 2\)

21. (大庆中考) 已知：圆 \(⊙O\) 的直径 \(AB\)，弦 \(CD \perp AB\) 于点 \(E\)，点 \(P\) 在圆上，\(PB\) 与 \(CD\) 交于点 \(F\)，\(\angle PBC = \angle C\)。

(1) 求证：\(CB \parallel PD\)；
(2) 若 \(\angle PBC = 22.5°\)，圆的半径 \(R = 2\)，求劣弧 \(AC\) 的长度。

**证明**：
(1) 连接 \(OC\)、\(OD\)。因为 \(\angle PBC = \angle PDC\)，且 \(\angle PBC = \angle BCD\)，所以 \(\angle BCD = \angle PDC\)。因此，\(CB \parallel PD\)。
(2) 因为 \(AB\) 是圆的直径，\(CD \perp AB\)，所以 \(BC = BD\)。因为 \(\angle PBC = \angle BCD = 22.5°\)，所以 \(\angle BOC = \angle BOD = 2 \cdot 22.5° = 45°\)。因此，\(\angle AOC = 180° – \angle BOC = 135°\)。所以劣弧 \(AC\) 的长度为：\(\frac{135 \cdot \pi \cdot 2}{180} = \frac{3\pi}{2}\)。

22. (绍兴中考) 已知：从地面上的点 \(A\) 看山坡上的电线杆 \(PQ\)，测得杆顶端 \(P\) 的仰角是 \(45°\)，向前走 6 米到达 \(B\) 点，测得杆顶端 \(P\) 和杆底端 \(Q\) 的仰角分别是 \(60°\) 和 \(30°\)。

(1) 求 \(\angle BPQ\) 的度数；
(2) 求该电线杆 \(PQ\) 的高度（结果精确到 1 米，参考数据：\(\sqrt{3} \approx 1.7\)，\(\sqrt{2} \approx 1.4\)）。

**解**：
(1) \(\angle BPQ = 90° – 60° = 30°\)。
(2) 延长 \(PQ\) 交直线 \(AB\) 于点 \(C\)。设 \(PQ = x\)，则 \(QB = PQ = x\)。在 \(\triangle BCQ\) 中，\(BC = x \cdot \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} x\)，\(QC = \frac{1}{2} x\)。在 \(\triangle ACP\) 中，\(CA = CP\)，所以 \(6 + \frac{\sqrt{3}}{2} x = \frac{1}{2} x + x\)。解得 \(x = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{2 – \sqrt{3}} \approx 9\)。因此，电线杆 \(PQ\) 的高度约为 9 米。

23. (绍兴中考) 已知：圆 \(⊙O\) 的直径 \(AB\)，弦 \(CD \perp AB\) 于点 \(E\)，\(BC\) 为圆的切线，\(D\) 为圆上一点，\(CD = CB\)，延长 \(CD\) 交 \(BA\) 的延长线于点 \(E\)。

(1) 求证：\(CD\) 为圆的切线；
(2) 求证：\(\angle C = 2 \angle DBE\)；
(3) 若 \(EA = AO = 2\)，求图中阴影部分的面积（结果保留 \(\pi\)）。

**证明**：
(1) 连接 \(OD\)。因为 \(BC\) 是圆的切线，所以 \(\angle ABC = 90°\)。因为 \(CD = CB\)，所以 \(\angle CBD = \angle CDB\)。因为 \(OB = OD\)，所以 \(\angle OBD = \angle ODB\)。因此，\(\angle ODC = \angle ABC = 90°\)，即 \(OD \perp CD\)。因为点 \(D\) 在圆上，所以 \(CD\) 为圆的切线。
(2) \(\angle DOE = \angle OBD + \angle ODB = 2 \angle DBE\)。由 (1) 得 \(OD \perp EC\) 于点 \(D\)，所以 \(\angle E + \angle C = \angle E + \angle DOE = 90°\)。因此，\(\angle C = \angle DOE = 2 \angle DBE\)。
(3) 作 \(OF \perp BD\) 于点 \(F\)，连接 \(AD\)。因为 \(EA = AO\)，所以 \(AD\) 是直角三角形 \(△ODE\) 斜边的中线，所以 \(AD = AO = OD\)。因此，\(\angle DOA = 60°\)。所以 \(\angle OBD = 30°\)。又因为 \(OB = AO = 2\)，\(OF \perp BD\)，所以 \(OF = 1\)，\(BF = \sqrt{3}\)。因此，\(BD = 2 \cdot BF = 2\sqrt{3}\)，\(\angle BOD = 180° – \angle DOA = 120°\)。所以阴影部分的面积为：\(\frac{120 \cdot \pi \cdot 2^2}{360} – \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 1 = \frac{4\pi}{3} – \sqrt{3}\)。

24. (遵义中考) 已知：抛物线 \(y = ax^2 + bx + c (a \neq 0)\) 的顶点坐标为 \((4, -\frac{2}{3})\)，且与 \(y\) 轴交于点 \(C(0, 2)\)，与 \(x\) 轴交于 \(A\)、\(B\) 两点（点 \(A\) 在点 \(B\) 的左边）。

(1) 求抛物线的表达式及 \(A\)、\(B\) 两点的坐标；
(2) 在 (1) 中抛物线的对称轴 \(l\) 上是否存在一点 \(P\)，使 \(AP + CP\) 的值最小，若存在，求 \(AP + CP\) 的最小值；若不存在，请说明理由；
(3) 在以 \(AB\) 为直径的圆 \(⊙M\) 中，\(CE\) 与 \(⊙M\) 相切于点 \(E\)，\(CE\) 交 \(x\) 轴于点 \(D\)，求直线 \(CE\) 的表达式。

**解**：
(1) 由题意，设抛物线的表达式为 \(y = a(x – 4)^2 – \frac{2}{3} (a \neq 0)\)。因为抛物线经过点 \(C(0, 2)\)，所以 \(a(0 – 4)^2 – \frac{2}{3} = 2\)。解得 \(a = \frac{1}{6}\)。因此，抛物线的表达式为 \(y = \frac{1}{6}(x – 4)^2 – \frac{2}{3}\)。当 \(y = 0\) 时，\(\frac{1}{6}(x – 4)^2 – \frac{2}{3} = 0\)。解得 \(x_1 = 2\)，\(x_2 = 6\)。因此，\(A(2, 0)\)，\(B(6, 0)\)。
(2) 存在。由 (1) 知，抛物线的对称轴 \(l\) 为 \(x = 4\)。因为 \(A\)、\(B\) 两点关于 \(l\) 对称，连接 \(CB\) 交 \(l\) 于点 \(P\)，则 \(AP = BP\)。因此，\(AP + CP = BC\) 的值最小。因为 \(B(6, 0)\)，\(C(0, 2)\)，所以 \(OB = 6\)，\(OC = 2\)。因此，\(BC = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\)。因此，\(AP + CP\) 的最小值为 \(2\sqrt{10}\)。
(3) 连接 \(ME\)。因为 \(CE\) 是圆的切线，所以 \(\angle CEM = 90°\)。因此，\(\angle COD = \angle DEM = 90°\)。由题意，得 \(OC = ME = 2\)，\(\angle ODC = \angle MED\)，所以 \(\triangle COD \cong \triangle MED (AAS)\)。因此，\(OD = ED\)，\(DC = DM\)。设 \(OD = x\)，则 \(CD = DM = OM – OD = 4 – x\)。在直角三角形 \(△COD\) 中，\(OD^2 + OC^2 = CD^2\)。因此，\(x^2 + 2^2 = (4 – x)^2\)。解得 \(x = \frac{4}{3}\)。因此，\(D(\frac{4}{3}, 0)\)。设直线 \(CE\) 的表达式为 \(y = kx + b (k \neq 0)\)，因为直线 \(CE\) 过 \(C(0, 2)\)，\(D(\frac{4}{3}, 0)\) 两点，所以 \(b = 2\)，\(\frac{4}{3}k + b = 0\)。解得 \(k = -\frac{3}{2}\)，\(b = 2\)。因此，直线 \(CE\) 的表达式为 \(y = -\frac{3}{2}x + 2\)。

### 九年级下册数学教学计划

本学期我担任初三 (1) (2) 两个班的数学教学工作，从学生的入学成绩上看，两班学生的数学基础较差，所以本学期的教学任务非常艰巨，但我仍有信心迎接这个新挑战。为了能更出色地完成教学任务，特制定计划如下：

### 一、本学期教材分析，学生现状分析

本学期教学内容是人教版九年级下册教材，内容与现实生活联系非常密切，知识的综合性也较强，教材为学生动手操作、归纳猜想提供了可能。通过观察、思考、实验、想一想、试一试、做一做等方式，给学生留有思考的空间，让学生能更好地自主学习。因此，对每一章的教学都要体现师生交往、互动、共同发展的过程。要求老师成为学生数学学习的组织者和引导者，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，在活动中激发学生的学习潜能，促使学生在自主探索与合作交流的过程中真正理解和掌握基本数学知识、技能、思想、方法，提高解决问题的能力。

开学“第一周”我对学生的观察和了解中发现，少部分学生基础还可以，而大部分学生基础和能力比较差，甚至加减乘除运算都不过关，更不用提解决实际问题了。所以一定要想方设法，鼓励他们增强信心，改变现状。在扎实基础上提高他们解题的基本技能和技巧。

### 二、确立本学期的教学目标及实施目标的具体做法

本学期的教学目标是九年级 (下) 的两章内容和中考复习，力求学生掌握基础的同时提高他们的动手操作能力、概括能力、类比猜想能力和自主学习能力。在初中的数学教学实践中，常常发现相当一部分学生一开始不适应中学教师的教法，出现消化不良的症状，究其原因，就学生方面主要有三点：一是学习态度不够端正。二是智能上存在差异。三是学习方法不科学。我以为施教之功，贵在引导，重在转化，妙在开窍。因此为防止过早出现两极分化，我准备具体从以下几方面入手：

#### (一) 掌握学生心理特征，激发他们学习数学的积极性

学生进入复习阶段，心理上发生了较大的变化，开始要求“独立自主”，但学生环境的更换并不等于他们已经具备了中学生的诸多能力。因此对学习道路上的困难估计不足。鉴于这些心理特征，教师必须十分重视激发学生的求知欲，有目的地时时地向学生介绍数学在日常生活中的应用，还要想办法让学生亲身体验生活离开数学知识将无法进行。从而激发他们学习数学知识的直接兴趣，同时在言行上，教师要切忌伤害学生的自尊心。

#### (二) 努力提高课堂 45 分钟效率

1. 在教师这方面，首先做到要通读教材，驾奴教材，认真备课，认真备学生，认真备教法，对所讲知识的每一环节的过渡都要精心设计。给学生出示的问题也要有层次，有梯度，哪些是独立完成的，哪些是小组合作完成的，知识的达标程度教师更要掌握。同时作业也要分层次进行，使优生吃饱，差生吃好。
2. 重视学生能力的培养。中考复习阶段的数学是培养学生运算能力，发展思维能力和综合运用知识解决实际问题的能力，从而培养学生的创新意识。根据当前素质教育和新课改的精神，在教学中我着重对学生进行上述几方面能力的培养。充分发挥学生的主体作用，尽可能地把学生的潜能全部挖掘出来。

#### (三) 加强对学生学法指导

进入初三，有些学生纵然很努力，成绩依旧上不去，这说明中学阶段学习方法问题已成为突出问题，这就要求学生必须掌握知识的内存规律，不仅要知其然，还要知其所以然，以逐步提高分析、判断、综合、归纳的解题能力，我要求学生养成先复习，后做作业的好习惯。课后注意及时复习巩固以及经常复习巩固，能使学过的知识达到永久记忆，遗忘缓慢。

### 三、教学研究计划

课堂教学与数学改革是相铺相成的，做好教学研究能更好地为课堂教学服务。本学期将积极参加学校和备课组的各项教研活动，撰写“教学随笔”和“教学反思”。本人决定在“第四周”开一堂公开课，与学校同组的老师共同探讨教学。

### 四、继续教育计划

继续教育是提高教师基本技能的重要途径。本学期我积极参与校内外组织的各项继续教育，努力提升教育教学水平。

1. 通过网络继续教育培训，学习新教育理念，不断完善教育教学方式。
2. 阅读有关新课程的书籍，做好读书笔记。