北师大版九年级上册数学电子课本免费下载及学习指南

北师大版九年级上册数学电子课本免费下载

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九年级上册数学重要知识考点

1. 二次根式
一般地，形如√a的式子称为二次根式，其中a≥0。需要注意以下两点：
（1）若a0）

3. 积的算术平方根
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。

4. 二次根式的乘法法则
√a×√b=√(ab)（a≥0，b≥0）

5. 二次根式比较大小的方法
（1）利用近似值比大小；
（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；
（3）分别平方，然后比大小。

6. 商的算术平方根
√(a/b)=√a/√b（a≥0，b>0）

7. 二次根式的除法法则
（1）√(a/b)=√a÷√b（a≥0，b>0）
（2）分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式。

8. 最简二次根式
满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根式：
① 被开方数的因数是整数，因式是整式；
② 被开方数中不含能开尽方的因数或因式。

9. 同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

10. 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算。在运算过程中，应先化简二次根式，例如将二次根式化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等。

第22章 一元二次方程

1. 一元二次方程的一般形式
当a≠0时，ax²+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式。在研究一元二次方程时，通常需要将其化为一般形式，以确定a、b、c的值。其中a、b、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式。

2. 一元二次方程的解法
一元二次方程的解法包括直接开平方法、公式法、因式分解法和配方法。其中，因式分解法适用范围较大且计算简便，是首选方法；公式法虽然适用范围广，但计算较繁，易发生错误；直接开平方法简单但适用范围较小；配方法使用较少。

3. 一元二次方程根的判别式
当ax²+bx+c=0（a≠0）时，Δ=b²-4ac叫一元二次方程根的判别式。其等价命题如下：
Δ>0 有两个不相等的实根
Δ=0 有两个相等的实根
Δ<0 无实根

4. 平均增长率问题
设增长率为x，则：
第一年：a
第二年：a(1+x)
第三年：a(1+x)²
常利用以下相等关系列方程：
第三年=a(1+x)²
或
第一年+第二年+第三年=总和

第23章 旋转

1. 概念
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。

2. 旋转的性质
（1）旋转前后的两个图形是全等形；
（2）两个对应点到旋转中心的距离相等；
（3）两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角。

3. 中心对称
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

4. 中心对称的性质
（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
（2）关于中心对称的两个图形是全等图形。

5. 中心对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

6. 坐标系中的中心对称
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点P'(-x，-y)。

第24章 圆

1. 垂径定理及推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。推论包括：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

2. “角、弦、弧、距”定理
（1）同圆或等圆中，等角对等弦；
（2）同圆或等圆中，等弦对等角；
（3）同圆或等圆中，等角对等弧；
（4）同圆或等圆中，等弧对等角；
（5）同圆或等圆中，等弧对等弦；
（6）同圆或等圆中，等弦对等（优、劣）弧；
（7）同圆或等圆中，等弦对等弦心距；
（8）同圆或等圆中，等弦心距对等弦。

3. 圆周角定理及推论
（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；
（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；
（3）等弧对等角，等角对等弧；
（4）直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径。

4. 圆内接四边形性质定理
圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

5. 切线的判定与性质定理
（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
（2）圆的切线垂直于经过切点的半径。

6. 相交弦定理及其推论
（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；
（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项。

7. 关于两圆的性质定理
（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；
（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。

8. 正多边形的有关计算
（1）中心角、半径、边心距、边长、内角、边数；
（2）有关计算在直角三角形中进行。

九年级上册数学练习题

一、选择题（共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。每题3分，共24分）

1. 下列方程中不一定是一元二次方程的是()
A.(a-3)x²=8(a≠3)
B.ax²+bx+c=0
C.(x+3)(x-2)=x+5
D.2x²-4x+1=0

2. 下列方程中，常数项为零的是()
A.x²+x=1
B.2x²-x-12=12
C.2(x²-1)=3(x-1)
D.2(x²+1)=x+1

3. 一元二次方程2x²-3x+1=0化为(x+a)²=b的形式，正确的是()
A.(x-3/2)²=5/4
B.(x-1/2)²=3/4
C.(x+3/2)²=5/4
D.以上都不对

4. 关于x的一元二次方程x²-2x+k=0的一个根是0，则k的值为()
A.0
B.1
C.2
D.无法确定

5. 已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程x²-14x+48=0的一个根，则这个三角形的周长为()
A.11
B.17
C.17或19
D.无法确定

6. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x²+5x+6=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是()
A.√13
B.3
C.6
D.无法确定

7. 使分式的值等于零的x是()
A.6
B.-1或6
C.-1
D.-6

8. 若关于y的一元二次方程ky²-4y-3=3y+4有实根，则k的取值范围是()
A.k>-3
B.k≥-3且k≠0
C.k≥-3
D.k>-3且k≠0

9. 已知方程x²-2x-3=0，则下列说法中，正确的是()
A.方程两根和是-2
B.方程两根积是-3
C.方程两根和是2
D.方程两根积比两根和大2

10. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为()
A.200(1+x)²=1000
B.200+200×2x=1000
C.200+200×3x=1000
D.200[1+(1+x)+(1+x)²]=1000

二、填空题（每小题4分，共20分）

11. 用______法解方程3(x-2)²=2x-4比较简便.
12. 如果2x²+1与4x²-2x-5互为相反数，则x的值为________.
13. ________，________，________.
14. 若一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1，则a、b、c的关系是______.
15. 已知方程3ax²-bx-1=0和ax²+2bx-5=0有共同的根-1，则a=______，b=______.
16. 一元二次方程x²-3x-1=0与x²-x+3=0的所有实数根的和等于____.
17. 已知√3-√2是方程x²+mx+7=0的一个根，则m=________，另一根为_______.
18. 已知两数的积是12，这两数的平方和是25，以这两数为根的一元二次方程是___________.
19. 已知x₁、x₂是方程x²-5x+6=0的两个根，则x₁²+x₂²等于__________.
20. 关于x的二次方程x²-4x+k=0有两个相等实根，则符合条件的一组实数值可以是，______.

三、用适当方法解方程（每小题5分，共10分）

21. x²-5x+6=0
22. 2x²-4x+1=0

四、列方程解应用题（每小题7分，共21分）

23. 某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%，若每年下降的百分数相同，求这个百分数.
24. 如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m²，道路应为多宽？
25. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。求：
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
26. 解答题（本题9分）已知关于x的方程x²-2mx+m²-1=0的两根的平方和比两根的积大21，求m的值.

九年级上册数学练习题答案

一、选择题：1.B 2.D 3.C 4.A 5.D 6.B 7.A 8.B 9.C 10.D

二、填空题：11.提公因式 12.-1或1 13.√2，-√2，5 14.b=a+c 15.1，-2 16.3 17.-6，3+√2 18.x²-7x+12=0或x²+7x+12=0 19.-1 20.2，1（答案不唯一，只要符合题意即可）

三、用适当方法解方程：21.解：因式分解法 (x-2)(x-3)=0 x₁=2 x₂=3 22.解：配方法 (x-1)²=0 x₁=x₂=1

四、列方程解应用题：23.解：设每年降低x，则有(1-x)²=1-36% (1-x)²=0.64 1-x=±0.8 x₁=0.2 x₂=1.8（舍去） 答：每年降低20%。 24.解：设道路宽为xm (32-2x)(20-x)=570 640-32x-40x+2x²=570 x²-36x+35=0 (x-1)(x-35)=0 x₁=1 x₂=35（舍去） 答：道路应宽1m 25.⑴解：设每件衬衫应降价x元 (40-x)(20+2x)=1200 800+80x-20x-2x²-1200=0 x²-30x+200=0 (x-10)(x-20)=0 x₁=10（舍去）x₂=20 ⑵解：设每件衬衫降价x元时，则所得赢利为(40-x)(20+2x)=-2x²+60x+800 -2(x-15)²+1250 所以，每件衬衫降价15元时，商场赢利最多，为1250元。 26.解答题：解：设此方程的两根分别为x₁、x₂，则 (x₁²+x₂²)-x₁x₂=21 (x₁+x₂)²-3x₁x₂=21 [-2(m-2)]²-3(m²+4)=21 m²-16m-17=0 m₁=-1 m₂=17 因为△≥0，所以m≤0，所以m=-1