初二数学上学期必学知识点总结与复习指南

在学习数学的过程中，掌握每一个关键知识点至关重要。下面为您整理了初二数学上学期的核心知识点，希望能帮助您更好地理解和学习。请参考以下内容：

### 第十一章 三角形

#### 知识框架
**知识概念**：
1. **三角形**：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形。
2. **三边关系**：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3. **高**：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点到垂足之间的线段即为高。
4. **中线**：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。
5. **角平分线**：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点到交点之间的线段即为角平分线。
6. **三角形的稳定性**：三角形的形状固定，这一性质称为三角形的稳定性。
7. **多边形**：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形。
8. **多边形的内角**：多边形相邻两边组成的角。
9. **多边形的外角**：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角。
10. **多边形的对角线**：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
11. **正多边形**：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形。
12. **平面镶嵌**：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖。

#### 公式与性质
1. **三角形的内角和**：三角形的内角和为180°。
2. **三角形外角的性质**：
– 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
– 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
3. **多边形内角和公式**：n边形的内角和等于(n-2)×180°。
4. **多边形的外角和**：多边形的外角和为360°。
5. **多边形对角线的条数**：
– 从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，把多边形分成(n-2)个三角形。
– n边形共有n(n-3)/2条对角线。

### 第十二章 全等三角形

#### 知识框架
**知识概念**：
1. **基本定义**：
– 全等形：能够完全重合的两个图形。
– 全等三角形：能够完全重合的两个三角形。
– 对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点。
– 对应边：全等三角形中互相重合的边。
– 对应角：全等三角形中互相重合的角。
2. **基本性质**：
– 三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，形状和大小就完全确定。
– 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
3. **全等三角形的判定定理**：
– 边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。
– 边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
– 角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
– 角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
– 斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4. **角平分线**：
– 画法：从角的顶点作角的平分线。
– 性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
– 性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
5. **证明的基本方法**：
– 明确命题中的已知和求证，包括隐含条件（如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）。
– 根据题意画出图形，并用数字符号表示已知和求证。
– 分析找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

### 第十三章 轴对称

#### 知识框架
**知识概念**：
1. **基本概念**：
– 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
– 两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。
– 线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线。
– 等腰三角形：有两条边相等的三角形。
– 等边三角形：三条边都相等的三角形。
2. **基本性质**：
– 对称的性质：
– 对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
– 对称的图形都全等。
– 线段垂直平分线的性质：
– 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
– 与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
– 关于坐标轴对称的点的坐标性质。
3. **基本判定**：
– 等腰三角形的判定：
– 有两条边相等的三角形是等腰三角形。
– 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。
– 等边三角形的判定：
– 三条边都相等的三角形是等边三角形。
– 三个角都相等的三角形是等边三角形。
– 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
4. **基本方法**：
– 做已知直线的垂线。
– 做已知线段的垂直平分线。
– 作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线。
– 作已知图形关于某直线的对称图形。
– 在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短。

### 初二数学上册基础知识点

#### 运用公式法
运用公式法是将整式乘法与因式分解互为逆变形的应用。通过将乘法公式反过来，可以用来分解某些多项式。例如：
– a² – b² = (a + b)(a – b)
– a² + 2ab + b² = (a + b)²
– a² – 2ab + b² = (a – b)²

#### 平方差公式
平方差公式是：
– a² – b² = (a + b)(a – b)
语言表述为：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

#### 因式分解
1. 因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2. 因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。

#### 完全平方公式
完全平方公式是将乘法公式(a + b)² = a² + 2ab + b²和(a – b)² = a² – 2ab + b²反过来得到：
– a² + 2ab + b² = (a + b)²
– a² – 2ab + b² = (a – b)²
这两个公式称为完全平方公式。

#### 分组分解法
分组分解法是将多项式分成若干组，每组可以分别提取公因式或运用公式分解，然后再进一步分解。例如：
– am + an + bm + bn = (am + an) + (bm + bn) = a(m + n) + b(m + n) = (m + n)(a + b)

#### 提公因式法
提公因式法是在分解因式时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式，然后提取公因式。例如：
– x² + px + q = (x + q)(x + p)

#### 分式的乘除法
1. 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
2. 分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式。
3. 如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，再约去分子与分母的公因式。
4. 分式约分中注意正确运用乘方的符号法则。
5. 分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则变成整个分式的符号，然后按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理。

#### 分数的加减法
1. 通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形。约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来。
2. 通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变。
3. 一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备。
4. 通分的依据：分式的基本性质。
5. 通分的关键：确定几个分式的公分母。通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
6. 类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
7. 同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
8. 异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
9. 同分母分式相加减，分母不变，只须将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号。
10. 对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分。
11. 异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化。
12. 作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式。

#### 含有字母系数的一元一次方程
含有字母系数的一元一次方程的解法与以前学过的只含有数字系数的方程的解法相同，但必须特别注意：用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这个式子的值不能等于零。

#### 二元一次方程
1. **定义**：含有两个未知数，并且未知项的次数是1，系数不是0的整式方程，叫做二元一次方程。
2. **一般形式**：ax + by = c（其中x、y是未知数，a、b、c是字母已知数，且ab≠0）。
3. **判断条件**：
– 含有两个未知数；
– 未知项的次数都是1；
– 未知项的系数都不是0；
– 等号两边的代数式是整式，即方程是整式方程。
4. **解题技巧**：解二元一次方程时，通常通过将一个未知数用另一个未知数表示，然后代入另一个方程中，从而减少未知数的个数，最终求解。

#### 勾股定理
1. **定义**：如果直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2. **判定**：如果三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形。
3. **勾股数**：满足a² + b² = c²的三个正整数，称为勾股数。

#### 实数
1. **定义**：任何有限小数或无限循环小数都是有理数。无限不循环小数叫做无理数（有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示）。
2. **算术平方根**：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，我们规定0的算术平方根是0。
3. **平方根**：一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫二次方根）。一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
4. **立方根**：一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
5. **实数**：有理数和无理数统称为实数，即实数可以分为有理数和无理数。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。

#### 图形的平移与旋转
1. **平移**：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。
2. **旋转**：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的大小和形状。任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

通过以上内容的整理和优化，初二数学上学期的知识点更加清晰、系统，便于学生理解和记忆。希望这些内容能够帮助您更好地掌握数学知识，提高学习效率。