高一数学必修一知识点精讲与高效学习技巧

做好高一数学知识点总结，对全面提升数学学习质量具有至关重要的作用。那么高一数学必修一的知识点究竟有哪些呢？以下是小编精心整理的高一数学必修一知识点总结归纳，供同学们参考学习。

### 第一章 集合与函数概念

#### 一、集合有关概念

1. **集合的含义**
集合是由某些指定的对象集在一起形成的整体，其中每一个对象称为该集合的元素。例如，{我校的篮球队员}、{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}等。

2. **集合中元素的三个特性**
– **确定性**：集合中的元素是明确的，任何一个对象要么属于该集合，要么不属于，不存在模棱两可的情况。
– **互异性**：集合中的元素是唯一的，相同的对象只能算作一个元素。
– **无序性**：集合中元素的排列顺序无关紧要，只要元素相同，无论排列如何，都是同一个集合。
说明：这三个特性使得集合具有确定性和整体性，是集合区别于其他数学概念的重要特征。

3. **集合的表示方法**
– **列举法**：将集合中的元素一一列举出来，并用大括号括起来，如{1, 2, 3, 4, 5}。
– **描述法**：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内，如{不是直角三角形的三角形}。
描述法又可分为语言描述法和数学式子描述法，例如，不等式x-3>2的解集可表示为{x|x∈R, x-3>2}或{x|x>5}。
– **常用数集及其记法**：
– 非负整数集（自然数集）：N
– 正整数集：N+或N*
– 整数集：Z
– 有理数集：Q
– 实数集：R

4. **关于“属于”的概念**
– 元素a属于集合A，记作a∈A；
– 元素a不属于集合A，记作a∉A。

5. **集合的分类**
– **有限集**：含有有限个元素的集合。
– **无限集**：含有无限个元素的集合。
– **空集**：不含任何元素的集合，记作∅。
例如，{x|x²=-5}是空集，因为方程无实数解。

#### 二、集合间的基本关系

1. **“包含”关系——子集**
– 如果集合A是集合B的一部分，或A与B是同一集合，则称A包含于B，记作A⊆B或B⊇A。
– 反之，若A不包含于B，或B不包含A，记作A⊈B或B⊈A。

2. **“相等”关系**
– 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，则称A等于B，记作A=B。
– 举例：设A={x|x²-1=0}，B={-1, 1}，则A=B。
– 集合相等的性质：
– 任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A。
– 真子集：若A⊆B，且A≠B，则称A是B的真子集，记作A⊊B或B⊋A。
– 传递性：若A⊆B，B⊆C，则A⊆C。
– 若A⊆B且B⊆A，则A=B。

3. **空集**
– 空集是任何集合的子集，且是任何非空集合的真子集。

#### 三、集合的运算

1. **交集的定义**
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B。
即A∩B={x|x∈A且x∈B}。

2. **并集的定义**
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B。
即A∪B={x|x∈A或x∈B}。

3. **交集与并集的性质**
– A∩A=A
– A∩∅=∅
– A∩B=B∩A
– A∪A=A
– A∪∅=A
– A∪B=B∪A

4. **全集与补集**
– **补集**：设S是一个集合，A是S的子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，称为A在S中的补集，记作C_S(A)或A’。
即C_S(A)={x|x∈S且x∉A}。
– **全集**：如果集合S包含我们所要研究的各个集合的全部元素，则S称为全集，通常用U表示。
– **补集的性质**：
– C_U(C_U(A))=A
– (C_U(A))∩A=∅
– (C_U(A))∪A=U

### 第二章 基本初等函数

#### 一、指数函数

1. **根式的概念**
– 如果a的n次方等于b（n>1且n∈N*），那么a称为b的n次方根，记作√(n)b。
– 当n为奇数时，正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数。
– 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，互为相反数，分别记作√(n)b和-√(n)b。
– 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0。
– 根式：形如√(n)b的式子称为根式，其中n称为根指数，b称为被开方数。

2. **分数指数幂**
– 正数的分数指数幂的意义规定为：a^(m/n)=√(n)a^m（a>0，m∈N*，n∈N*且n>1）。
– 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
– 规定了分数指数幂后，指数概念从整数推广到有理数，整数指数幂的运算性质同样适用于有理数指数幂。

3. **指数函数及其性质**
– **指数函数的定义**：函数y=a^x（a>0且a≠1，x∈R）称为指数函数，其中a是底数，x是自变量，定义域为R。
– **指数函数的图象和性质**：
– 当a>1时，函数图象过点(0, 1)，在R上单调递增。
– 当0<a1），则x取遍所有正数当且仅当b>0。
– 对于指数函数y=a^x（a>0且a≠1），总有a^0=1。
– 当x=1时，a^x=a。

#### 二、对数函数

1. **对数的概念**
– 如果a^b=c（a>0且a≠1），那么b称为以a为底c的对数，记作log_a(c)。
其中a称为底数，c称为真数，b称为对数。
– **注意**：
– 底数a必须满足a>0且a≠1。
– 0和1没有对数。
– 对数的书写格式需规范。
– **两个重要对数**：
– 常用对数：以10为底的对数，记作log₁₀(c)。
– 自然对数：以无理数e为底的对数，记作ln(c)。
– **对数式与指数式的互化**：
– 对数式log_a(b)=c ↔ 指数式a^c=b

2. **对数的运算性质**
– 若a>0且a≠1，M>0，N>0，则：
– log_a(MN)=log_a(M)+log_a(N)
– log_a(M/N)=log_a(M)-log_a(N)
– log_a(M^p)=plog_a(M)

3. **换底公式**
– log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)（a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1）。
– 推导结论：
– log_a(b)=1/log_b(a)
– log_a(b^m)=mlog_a(b)

4. **对数函数**
– **定义**：函数y=log_a(x)（a>0且a≠1，x>0）称为对数函数，其中a是底数，x是自变量，定义域为(0, +∞)。
– **性质**：
– 当a>1时，函数图象过点(1, 0)，在(0, +∞)上单调递增。
– 当0<a0时，函数图象通过原点，在(0, +∞)上单调递增。
– 特别地，当α>1时，图象下凸；当0<α<1时，图象上凸。
– 当α0：方程有两个不等实根，图象与x轴有两个交点，函数有两个零点。
– △=0：方程有两个相等实根（二重根），图象与x轴有一个交点，函数有一个二重零点或二阶零点。
– △<0：方程无实根，图象与x轴无交点，函数无零点。

### 高一数学学习方法及技巧

#### 一、预习

1. 通览教材，初步理解基本内容和思路。
2. 预习时若发现与新课相关的旧知识掌握不牢，则查阅和补习旧知识，为学习新知识打好基础。
3. 阅读新教材时，注意发现自己难以掌握和理解的地方，以便听课时特别关注。
4. 做好预习笔记，将预习结果认真记录在笔记上，一般应记载教材主要内容、需在听课中着重解决的问题、查阅的旧知识等。

#### 二、上课

1. 课前准备好课本、笔记本等文具，并简要回忆和复习上节课内容。
2. 带着强烈的求知欲上课，希望在课堂上学习新知识、解决新问题。
3. 上课时集中精力听讲，铃响即进入积极学习状态，排除分散注意力的因素。
4. 抬头注视老师，专心聆听每一句话，抓住老师思路，注意问题提出方式及分析解决问题的逻辑性、步骤。
5. 若遇听不懂的问题，先记下，继续听讲，课后钻研或请教老师。
6. 努力成为课堂主人，认真思考老师提出的问题，观察演示实验，大胆发表看法，积极参与讨论。
7. 特别注意老师讲课的开头和结尾，开头概括上节内容、引出新课题及本节课目标，结尾提炼精要、复习提示。
8. 养成记笔记的习惯，边听边记，以听为主，下课再补笔记。笔记要有重点，记录知识提纲、补充知识、典型题目解题步骤、未听懂的问题等。

#### 三、作业

1. 先看书后作业，结合看书和作业，理解基本原理和法则，顺利完成作业，巩固知识。
2. 注意审题，明确条件、要求，应用知识找到解题途径。
3. 态度认真，推理严谨，准确运用定律、定理、公式、概念等，作业后验算，避免错误。
4. 独立完成作业，动脑思考、动手操作，促进知识消化理解，锻炼思维能力，检验知识掌握情况。
5. 认真更正错误，作业批改后仔细查看，改正错误，弥补知识缺陷。
6. 作业规范，解题深思熟虑后一次写成，避免涂改过多，书写工整，步骤简明完整，按学科格式规范书写。
7. 作业保存好，定期整理分类，复习时随时参考。

#### 四、复习

1. 当天复习当天功课，同时复习头一天内容，使新旧知识联系，重点复习老师讲授内容，特别是疑难问题，熟读牢记重点，理解基本要领和定律，会自行推导公式，清楚知识联系，总结规律性。
2. 单元复习：课程结束后全面复习知识要点，领会联系，使知识系统化、结构化，需记忆的知识理解基础上熟练记忆。
3. 期中复习：期中考试前系统复习上半学期内容，特别弄清各单元知识联系。
4. 期末复习：期末考试前系统复习本学期内容，力求“透彻理解、牢固掌握、灵活运用”。
5. 假期复习：寒假暑假完成作业，全面复习以前内容，重点复习掌握不牢部分，避免遗忘，减轻高三总复习负担。
6. 学有余力同学可在老师指导下阅读课外书或做题，加深理解和记忆。

### 高一数学解题方法技巧

#### 一、数学解题方法

1. **选择题、填空题**
– 解答小题原则为“小题不大做”，常用方法：回忆法、直接解答法、淘汰法、猜测法、数形结合法、特殊值法。

2. **解答题**
– 写出解题过程与步骤，按步骤给分，常用类型方法：配方法、因式分解法、换元法、判别式法与韦达定理、待定系数法、构造法、反证法、面（体）积法、几何变换法。

#### 二、考场上解题策略

1. **快与准的关系**
题量大时间紧时，准更重要，准才能得分，快是平时训练结果，不可一味求快。适当慢一点、准一点，可多得分数。

2. **审题与解题的关系**
重视审题，吃透条件要求，挖掘隐含条件，找准解题方向。

3. **会做与得分的关系**
解题策略转化为得分点，靠准确完整的数学语言表述，卷面常见“会而不对、对而不全”。

4. **难题与容易题的关系**
通览全卷，按先易后难顺序作答，合理分配时间，不要在难题上打持久战。近年考题多题把关，看似容易的题也可能有难点，看似难做的题也有得分点。

希望以上内容能帮助同学们更好地掌握高一数学知识，提升学习效果。