AI 正在掀起数学证明领域的“扫荡模式”。近日，数学爱好者 nor 利用 GPT-6 Astra 模型，成功攻克了一个困扰数学界半个多世纪的难题。这道题看似简单：给定 N 个半径为 1 的小圆盘，如何将它们塞进一个大圆，使大圆半径最小？早在 1969 年，数学家们就找到了漂亮的排列方案，但始终未能严格证明其最优性。nor 这次利用 GPT-6 Astra，一口气证明了 N=15、16、17、18 和 20 的情况，填补了 N≤20 证明的空白。此前，仅有 N≤14 和 N=19 被验证。N 到 20 并非 AI 的极限，只是 nor 暂停了探索。
为了更清晰地界定问题，我们可以用数学语言重新描述。假设有 N 个半径均为 1 的圆盘和一个半径为 R 的大圆。要求所有小圆盘必须完全位于大圆内部，允许与大圆边界相切但不能超出。任意两个小圆盘不能发生内部重叠，但允许彼此相切。小圆盘可以在大圆内任意移动和排列。问题的核心在于：对于给定的正整数 N，大圆半径 R 的最小值是多少？寻找最优排列只是第一步，真正的难点在于如何严格在数学上证明，当前的排列已经达到极限，不存在更优方案。
回顾历史，1968 年美国数学家葛立恒证明了 N≤7 的情况；1969 年数学研究者 Udo Pirl 将证明范围推进到 10 个圆盘，并研究了 11-19 个圆盘的排列方案；直到 2003 年前后，N≤14 以及 N=19 的情形才被严格证明。
nor 是一位长期研究数学、机器学习和优化算法的技术作者，也是多次公开参与 AI 辅助数学研究的推动者。他本人在十多年前就关注到了这个题目，见过去十几年间进展寥寥，便决定尝试 AI。nor 的方法是循序渐进的：先让 GPT-6 Astra 处理 N=15 的情况，模型解决后，再让它将同样的方法推广到 16、17，以及 18 和 20……GPT-6 Astra 均成功给出了证明结果。虽然证明过程一如既往晦涩难懂，但其核心思路清晰：不再直接寻找最优解，而是通过几何约束将无限多种可能的排列缩减为有限的情况，再用计算机逐一排除，最终严格证明经典排列已经最优。
具体而言，nor 与 GPT-6 Astra 合作完成的证明过程分为五步：首先，将靠外的圆盘推向边界，证明在满足特定条件时，靠近外圆的圆盘向外移动不会引起重叠，从而将圆盘分为边界上的一组和内部的一组。其次，利用角度关系排除大量排列，因为圆盘不能重叠，它们之间必须保持一定的角度间隔，如果某种排列要求的角度总和超过 360 度，即可直接排除。再次，让计算机枚举剩余可能，不再搜索每个圆盘的具体坐标，而是检查圆盘到圆心的距离区间及其环绕次序。接着，利用几何刚性证明精确最优，前面的搜索只能证明所有可行排列都非常接近已知的经典排列，接下来利用圆盘之间的接触约束，证明这些排列无法发生符合条件的微小变形，从而把“非常接近”提升为“严格一致”。最后，针对 15 个圆盘的情况使用了另一种奇数环论证，还原原始排列并证明其中必然至少有一个圆盘接触外圆边界，这意味着不可能把所有圆盘塞进半径更小的外圆，从而完成最优化证明。
值得注意的是，nor 的贡献远不止于“丢给 AI 一个提示词”。他在博客文章中写道，作为人类，他在这项工作中的贡献包括：确定问题的可行性、引导模型、与漏洞百出的网页用户界面作斗争、忍受糟糕的文案、修复细微问题、反复推敲阐述、手动验证其有效性，以及使用 Astra 和 Opus 5.5 重新检查所有内容。
nor 将结果发布后，发现用 AI 在研究同一个问题的同道中人还不少。还有网友表示，AI 的突破让数学变得更容易理解了，“我都不知道数学领域能有这么浓厚的探索氛围”。站在数学爱好者们的角度来说，这无疑是一种数学 2.0 时代的新气象。