一个困扰数学界百年的猜想倒下了。哈佛数学家 Levent Alpöge 与 AI 模型 Claude 合作，成功证伪了 Carathéodory 猜想，并连带推翻了 Loewner 指数猜想。这份长达一周的 PDF 研究报告现已正式公开。这并非 Alpöge 首次与 Claude 合作“搞事”，此前在世界杯期间，他曾利用 Claude 提出了三维雅可比猜想的反例，震惊学界。
首先，我们需要理解 Carathéodory 猜想的内容。1924 年，德国数学家 Hans Ludwig Hamburger 在微分几何领域提出了这一猜想，并以他的导师 Constantin Carathéodory 命名。该猜想断言：在三维欧几里得空间中，任何足够光滑的闭凸曲面，至少存在两个“脐点”。
什么是脐点？通俗地说，就是曲面上各方向弯曲程度完全相同的点。在微分几何中，脐点是局部呈球形的点，其所有方向的法曲率相等，两个主曲率也相等。最典型的例子是球面，无论你朝哪个方向触摸，曲率都是一样的。Carathéodory 认为，无论你如何对凸面进行变形，只要保持光滑，就不可能让脐点只剩下一个，至少得保留两个。
这一猜想看起来合乎直觉：球面有无穷多个脐点，椭球面则有 2 个。一百年来，无数数学家试图构造出只有 1 个脐点的光滑凸体，但均告失败。与 Carathéodory 猜想相伴的还有 Loewner 猜想——孤立脐点的指数不超过 1。这两个猜想互为支撑，像一把铁锁，锁住了微分几何的广阔领域。而现在，这把锁被撬开了。
Alpöge 与 John-Paul Smith 提供了一个极其具体的构造方案。他们定义了一族函数 g_k，其中当 k=2 时，g_2 作为球面支持函数，在原点处产生了一个指数为 2 的脐点。这一发现直接违反了 Loewner 猜想的上限（1）。关键在于，由于指数衰减项的存在，g_2 在数学上保证了无限次可微的光滑性。这意味着该凸体完全符合 Carathéodory 猜想对光滑性的要求，却仅包含 1 个脐点。
Carathéodory 猜想要求至少 2 个脐点，而反例给出了 1 个；Loewner 猜想要求脐点指数为 1，而反例是 2。一个显式且可验证的反例，瞬间推翻了这两个存活百年的猜想。在数学中，证伪一个猜想往往只需要一个反例，但找到这个反例的难度，有时甚至超过了证明猜想本身。
回顾过去几个月，数学界正经历着一场剧变：Claude 在黎曼猜想的研究中创下新纪录，将零点比例下限从 41.6% 提升至 67.2%，这是人类在 37 年里仅取得的 0.8% 的进步；OpenAI 集中发布了 10 项数学与理论计算机科学的进展；Alpöge 连续利用 Claude 证伪多个经典猜想；新晋菲尔兹奖得主也宣布加入 OpenAI。
趋势已然浮现。AI 不再仅仅是数学家的计算工具，它正在演变为“直觉补充器”，利用穷举和构造能力，在人类直觉失效的地方开辟新路径。这次百年猜想的倒下，并非源于更强的人类智慧，而是源于一种全新的人机协作范式。这种范式将继续冲击更多猜想。下一个倒下的，又会是谁？